Je bloque sur une question dans un exercice, et je n'ai absolument aucune idée
U0 appartient à [0;pi/2]
Un+1=sin(Un)
1) Montrez que Un converge vers l et que l =0, je l'ai fait
2)On pose Vn=(Un+1)^alpha-(Un)^alpha
Montrer qu'il existe un unique réel alpha que l'on déterminera tq (Vn) converge vers un réel l, NON NUL, que l'on déterminera également.
Merci d'avance pour toute aide
Pour t ]0 , [ on a : 0 < sin(t) = t - t3/6 + t3o(1) et donc aussi (sin(t))a = ta( 1 - t²/6 + t²o(1))a = ta(1 - at²/6 + t²o(1)) = ta - (a/6)ta+2 (1 + o(1)) et si on prend a = -2 , (sin(t))-2 = 1/3 + o(1) .
On en déduit que vn+1 - vn 1/3 et donc (Césaro) vn/n 1/3 donc un/n 3
sauf erreur
Merci etniopal !
Par contre je trouve -1/3...
J'obtiens Vn= alpha*(Un^(alpha+2))/6 + o(Un^alpha+2) donc quand je remplace alpha par -2 ca me donne -1/3
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