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suites dans espaces vectoriel
Soit E le R-e-v des suites numériques réelles E{(an) tq an∈ R, ∀ n ∈ N}
a) Mq le sous ensemble F de E avec F = {(an) ∈ E tq an+2 = an+1 +2an, ∀ n ∈ N} est un e-v.
b) Mq l'application W définie par
W : F → R2.
(an) → (a0, a1)
est une application linéaire.
c) Mq W bijective, ie c'est un isomorphe d'e-v ou F et R2 sont isomorphes.
d) déterminer deux suites géométriques non nulles appartenant à F.
e) Montrer que ces deux suites géométriques forment une base de F (donc, toute suite de F s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire de ces deux suites géométriques)
bonjour, voici l'ennoncé ci dessus pour la question a j'ai ecrit des choses mais je suis pas sure
apres c'est de néan...
merci de votre aide
Bonjour. Qu'est qui te bloque exactement ?
Pour la première question il faut juste se servir de la définition d'un sev.
Rebonjour
a) Commence par montrer que la suite nulle est dans F, puis que si et
sont sans F alors une combinaison linéaire de A et B est encore dans F.
b) Vérifie que
c) montre que
d) Tu regardes pour quels q, la suite est dans F.
(et avant que nevada t'incendie, on écrit NéanT)
*Soit Sn la suite nulle, ainsi Sn+2 = Sn+1 + 2Sn <=> 0 = 0 + 0 donc Sn appartient à l'espace vectoriel.
* Soient Un verifiant l'équation Un+2 = Un+1 +2Un et Vn verifiant l'équation Vn+2 = Vn+1 +2Vn
l'addition des deux suites donne (U + V)n+2 = (U + V)n+1 + 2(U + V)n donc la somme appartient à l'espace vectoriel.
* De même pour tout λ appartenant à R on à λ (an+2 = an+1 +2an) <=> λ an+2 = λ an+1 +λ 2an
F est donc un sous espace vectoriel de E.
b) W (λ(an) + μ(bn))= W (λ an+2 = λ an+1 +λ 2an) + W ( μ bn+2 = μ bn+1 + μ 2bn) = … = λW(an) + μW(bn)
pour c) bijective <=> injective et surjective
je connais les definitions mais comment montrer que W bijective
comment montrer que ker W = 0 d'ou partir, et si ker W = 0 alors application , surjective donc injective d'ou bijective..?
Il y a un tas de théorèmes que tu ignores manifestement!
Si tu montres que tu as montré que W est injective. Tu montres qu'elle est surjective et ça prouve que c'est un isomorphisme.
le noyeau de l'application linéaire, si ker(W) = 0 W est injective donc
Im (W) = F donc W surjective donc bijective
mais comment prouver que ker{w) = 0
Non, tu DOIS DEMONTRER que le seul élément du noyau est la suite nulle. mais comme tu n'écris rien, tu n'as aucune chance d'y arriver!
soit (an) une suite telle que (an) appartient à ker W = 0
...
je n'y arrive pas ... j'ecris des choses sur mon brouillon je tourne en rond
la definition du noyau ne me sert a rien
Tu n'écris jamais rien, tu ne fais que reprendre ce que MOI j'écris!
Alors montre que si et si
alors
est la suite nulle.
c'est parce que vous vous avaez tout faire et moi pas grand chose alors j'essay de partir de choses juste pour avancer mais je peine !
(an) appartient à ker (W ) => W((an)) = (a0,a1) = (0,0)
(an) appartient à F => W(F) = R2 et (an) appartient à ker (W ) =>(0,0)
donc (an) est la suite qui vaut toujours 0, c'est la suite nulle.
est ce que c'est bon?
(an) appartient à ker (W ) => W((an)) = (a0,a1) = (0,0)
a0 = 0
a1=1
a2 = a1 + 2a0 = 0 + 0 = 0
a3 = a2 + 2a1 = 0 + 0 = 0
soit p(n) la propriété tq an = 0
a0 = a1 = a2 = 0 donc la propriété est vraie pour les rangs 0,1,2.
supposont donc qu'elle est vraie pour un rang n fixé.
On doit montrer que an+1 = 0
c'est a dire que an+1 = an + 2an-1 or an = 0 et an-1 = 0 donc an+1 = 0+0 =0
la propriété est donc vraie au rang p(n+1) donc an+1 = 0
la propriété est donc vraie pour tout n.
ainsi la seule suite appartenant à ker (W) est la suite nulle
ainsi la seule suite appartenant à ker (W) est la suite nulle ker (W) = 0 => W injective => Im (W) = F => W surjective => W injective et surjective donc bijective
Tu prends et tu construis une suite de F telle que
et
Là, je m'en vais, essaye... et de toute façon tu dois pouvoir faire la questrion suivante!
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