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suites et cos sin

Posté par
diesel78 06-09-11 à 19:03

bonjour j'ai un dm à faire et je bloque déjà sur le deuxième exercice. J'aimerai de l'aide pour me débloquer. Voici l'exercice en question:
soit n un entier naturel et θ appartient à )o;pi(
on pose
Sn=cos²θ+cos²θcos2θ+..cospθcospθ+..+cosnθcosnθ
S'n=cosθsinθ+cos²θsin2θ+...+cospθsinpθ+...+cosnθsinnθ
et Pn=Sn + iS'n

1) Démontrer que Pn=eiθcosθ x (1-(eiθcosθ)n)/(1-eiθcosθ).

2)en déduire alors que Sn= (cosn+1θsinnθ)/ sinθ

je bloque je pense que ce sont des suites gométriques mais je ne trouve pas la raison.
merci de votre aide

Posté par
verdurinre : suites et cos sin 06-09-11 à 19:13

Bonsoir,
on regarde le terme général de S+iS' :
\cos^p\theta \cos(p \theta)+i \cos^p\theta \sin(p \theta)=\cos^p\theta\ \cdot \text{e}^{ip \theta} = \left(\text{e}^{i\theta}\cos \theta\right)^p

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 06-09-11 à 21:51

Merci j'ai réussi le 1 après on fait la somme d'une suite géométrique. Mais pour le 2) sachant que sn est la partie réelle je développe P sous forme de cos et sin puis je sépare partie réelle et imaginaire?

Posté par
verdurinre : suites et cos sin 06-09-11 à 21:58

Je n'ai pas fait le calcul, mais je crois que c'est l'idée de base.

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 06-09-11 à 22:45

enfaîtes je fais le calcul mais je ne trouve pas du tout le résultat j'arrive à (cos²θ+isinθcosθ - (cosnθ+ isinnθ) cosnθ(cos²θ+isinθcosθ)) /
(1-(cosθ+isinθ)cosθ)

Posté par
verdurinre : suites et cos sin 06-09-11 à 22:57

Sn est un nombre réel.

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 06-09-11 à 23:23

Oui mais je n'arrive pas à simplifier le i du dénominateur

Posté par
cailloux Correcteurre : suites et cos sin 07-09-11 à 09:49

Bonjour,

Tu as donc:

\large P_n=e^{i\theta}\,\cos\,\theta\,\frac{1-\cos^n\theta\,e^{in\theta}}{1-\cos\theta\,e^{i\theta}}

En multipliant haut et bas par le conjugué du dénominateur: 1-\cos\,\theta e^{-i\theta}, on obtient le réel \sin^2\theta au dénominateur.

Il reste à prendre la partie réelle de P_n

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 07-09-11 à 10:46

En effet cela marche, merci beaucoup.

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 07-09-11 à 12:28

enfaite je viens de faire le calcul et j'aboutis à:
cosn+1θ( cos nθ(1-cosθ)-sin nθsinθ)     / sin²θ

Posté par
cailloux Correcteurre : suites et cos sin 07-09-11 à 15:22

Voyons:

\large P_n=e^{i\theta}\,\cos\,\theta\,\frac{1-\cos^n\theta\,e^{in\theta}}{1-\cos\theta\,e^{i\theta}}

\large P_n=e^{i\theta}\cos\,\theta\,\frac{(1-\cos^n\theta\,e^{in\theta})(1-\cos\,\thetae^{-i\theta})}{|1-\cos\,\theta\,e^{i\theta}|^2}

\large P_n=\frac{\cos\,\theta\,(1-\cos^n\theta\,e^{in\theta})(e^{i\theta}-\cos\,\theta)}{\sin^2\theta}

\large P_n=\frac{i\,\sin\,\theta\,\cos\,\theta\,(1-\cos^n\theta\,e^{in\theta})}{\sin^2\theta}

Puis avec \large \theta \in ]0;\pi[ (donc \large \sin\,\theta \not=0):

\large P_n=\frac{\cos^{n+1}\theta\,\sin\,n\theta}{\sin\,\theta}+i\,\frac{\cos\,\theta\,(1-\cos^n\theta\,\cos\,n\theta)}{\sin\,\theta}

et \large S_n=\Re\left[P_n\right]=\frac{\cos^{n+1}\theta\,\sin\,n\theta}{\sin\,\theta}

Posté par
cailloux Correcteurre : suites et cos sin 07-09-11 à 15:26

Je rectifie la seconde ligne:

\large P_n=e^{i\theta}\cos\,\theta\,\frac{(1-\cos^n\theta\,e^{in\theta})(1-\cos\,\theta\,e^{-i\theta})}{|1-\cos\,\theta\,e^{i\theta}|^2}

Posté par
diesel78re : suites et cos sin 08-09-11 à 18:18

C'est bon j'avais fait des erreurs de calcul, j'ai trouvé le bon résultat. Merci


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