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Suites et matrices

Posté par
marcellus 11-01-09 à 14:15

Bonjour à tous !

J'ai certaines question d'un exercice qui m'ennuient, si quelqu'un peut me donner un coup de main...

Pour tout n entier naturel on a :
a_n+1 = -a_n + b_n + c_n
b_n+1 = a_n - b_n + c_n
c_n+1 = a_n + b_n - c_n
avec a_0 = a, b_0 = b et c_0 = c.

On a la matrice U_n =
( a_n )
( b_n )
( c_n )
Et H = :
( -1 1 1 )
( 1 -1 1 )
( 1 1 -1 )

Donc j'en ai déduit que pour U_n+1 = H U_n et pour tout n entier naturel, U_n+1 = H^n U_0

Ensuite j'ai une matrice J =
( 1 1 1 )
( 1 1 1 )
( 1 1 1 )

J'ai calculé pour tout n entier naturel J^n =
( 3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1) )
( 3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1) )
( 3^(n-1) 3^(n-1) 3^(n-1) )

J'ai exprimé H = J - 2I
et j'en ai déduit H^n = (J - 2I)^n = (Somme de k=0 à n) (k parmi n) (-2)^(n-k) J^k
Et donc :
pour tout n entier naturel :
U_n+1 = ((Somme de k=0 à n) (k parmi n) (-2)^n_k J^k) U_n

Là on me demande d'en déduire a_n, b_n, c_n pour tout entier naturel n en fonction de n, a, b, et c. Et la je coince...

Merci d'avance de votre

Posté par
gui_toure : Suites et matrices 11-01-09 à 14:32

Salut

3$H^n=(J-2I)^n=\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)(-2)^{n-k}J^k=(-2)^nI_3+\Bigsum_{k=1}^n\(n\\k\)(-2)^{n-k}3^{k-1}J \\ ... \\ \fbox{H^n=(-2)^nI_3+\fr13(1-(-2)^n)J

Tu peux facilement calculer Hn-1, or Un = HnU0

Connaissant U0, un simple (mais long) produit matriciel donne Un, donc an bn et cn.

Cordialement.

Posté par
marcellusre : Suites et matrices 11-01-09 à 14:37

Bonjour gui_tou !

Merci de ton aide, je vais essayer de creuser cette voie, je reviendrai si j'ai un souci je vais voir.

Merci encore

Posté par
gui_toure : Suites et matrices 11-01-09 à 14:40

Avec plaisir

Les "..." signifient qu'on remanie la somme, en faisant apparaître (-2+3)^n et le binôme de Newton.

Posté par
marcellusre : Suites et matrices 11-01-09 à 14:42

Ah juste une chose, je ne comprends pas comment tu parviens à la dernière égalité. Au début je croyais que c'était le binôme de Newton, mais en fait non... Pourrais-tu m'expliquer ?

Posté par
marcellusre : Suites et matrices 11-01-09 à 14:43

D'accord, je vais rechercher alors... ^^

Posté par
gui_toure : Suites et matrices 11-01-09 à 14:45

Bigre, j'avais la flemme de le latexifier!

3$S\ =\ \Bigsum_{k=1}^n\(n\\k\)(-2)^{n-k}3^{k-1}

3$S\ =\ \fr13\times\Bigsum_{k=1}^n\(n\\k\)(-2)^{n-k}3^{k}

3$S\ =\ \fr13\times\[\Bigsum_{k=0}^n\(n\\k\)(-2)^{n-k}3^{k}-\(n\\0\)(-2)^{n-0}3^0\]

3$S\ =\ \fr13\times\[(-2+3)^n-(-2)^n\]

3$S\ =\ \fr13\times\[1-(-2)^n\]

Posté par
marcellusre : Suites et matrices 11-01-09 à 14:47

Oui merci je viens de le faire justement ; c'est juste que j'avais écrit mon message avant que tu ne confirmes que ce soit le binôme... Désolé

Merci quand même ; je vais essayer de voir la suite maintenant

Posté par
marcellusre : Suites et matrices 11-01-09 à 15:00

Au final je trouve :

H^(n-1) =
( (-2)^(n-1) + (1-(-2)^(n-1))/3     (1-(-2)^(n-1))/3     (1-(-2)^(n-1))/3 )
( (1-(-2)^(n-1))/3     (-2)^(n-1) + (1-(-2)^(n-1))/3     (1-(-2)^(n-1))/3 )
( (1-(-2)^(n-1))/3     (1-(-2)^(n-1))/3     (-2)^(n-1) + (1-(-2)^(n-1))/3 )

Et en notant :

p = (-2)^(n-1) + (1-(-2)^(n-1))/3
et
q = (1-(-2)^(n-1))/3

J'obtiens :

a_n = p a_0 + q b_0 + q c_0
b_n = q a_0 + p b_0 + q c_0
c_n = q a_0 + q b_0 + p c_0


Autre question :

J'ai montré que H² = 3H + 6I
Puis que : le reste de la division euclidienne de X^n par (X² + X - 2) était [(2^n -1)X + 2 - 2^n]
Et là on me demande d'en déduire H^n... Tu aurais une idée ? =/


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