Bonjour,
j'aurais quelques question sur l'exercice 2 partie 2 du sujet d'ATS 2007.
Soit N une matrice tel que
N=
spectre de N: {-1;2}
j'ai trouvé que -1 était racine double et deux racine simple.
Cependant la matrice n'est pas diagonalisable.
On pose M=N+I   (où I est la matrice identité)
On pose P=1/9.M²

Questions:
6b- Calculer les valeurs propres et une base des sous espaces propres de P.

Pour cette question je me suis servis du fait que si est valeur propre de N on a
N.X=.X   (où X=(x,y,z)
Donc N².=².X
les valeur propres de P seront donc:
spectre de P=1/9(²)
Cependant d'après la calculatrice les valeurs propres de P sont:
spectres P=1/9.(1,4,4) (ce qui correspond aux valeurs propres de N au carré) mais je ne comprend pas pourquoi désormais c'est 4 qui est racine double?

6c- Montrer que P est la matrice d'une projection.

Est ce que dire que P=P.P
P=P² convient? Ce qui me gène c'est que P est une matrice or pour la projection j'ai appris qu'il fallait employé cette méthode pour des applications.


d- Préciser les sous espaces images et noyau de la matrice P.

Pour cette question je n'ai aucune idée de comment faire.

Merci beaucoup de votre aide.