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Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt

Posté par
maths-rix 05-06-08 à 22:00

salut.

J'ai du mal à comprendre le Procédé d'orthonormalisation de Schmidt, enfin de point de vu théorique. J'aimerais bien voir comment ça marche sur un exemple concret si quelqu'un peut m'aider.

Par exemple :

Soit E = \mathbb {R}[X] un ev des polynômes de degré inférieur ou égale à 2. E est munit du produit scalaire (P/Q) = \int_{-1}^{1} PQdX. Orthonormaliser la base canonique (1,X,X^2).

il s'agit de faire quoi au juste ? calculer la norme de chacun des vecteur et puis....?

Merci.

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:08

Salut,
salut,

il faut d'abord calculer la norme du premier vecteur, soit 1 dans ce cas

tu appelles ce nouveau vecteur e1

ensuite tu poses u2= X - <u2.e1>

comme ça u2 sera orthogonal à e1

tu prends la norme de u2

t'appeles le nouveau vecteur e2

puis u3=X² - <u3.e1> - <u3.e2>

puis tu normes et tu trouve e3

e1, e2 et e3 sont de norme 1 et orthogonaux

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:09

e1= 1 / norme(1), je me suis mal exprimé

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:09

u2= X - <X.e1>

u3=X² - <X².e1> - <X².e2>

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:10

désolé c'est la fatigue

Posté par
disdrometrere : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:12

Salut

il s'agit de transformer cette base en une base orthonormée à l'aide du produit scalaire..

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:12

e2=u2/ norme(u2) e3=u3/norme(u3)

décidément j'ai vraiment écrit n'importe quoi

Posté par
disdrometrere : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:13

salut orelo !

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:18

la norme du premier vecteur :

(1/1) = sqrt{\int_{-1}^{1}1dx}= sqrt{2}

Donc e_1 = sqrt{2} ?

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:57

oui c'est ça

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 22:57

non , 1/rac(2)

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 05-06-08 à 23:54

on a e1=1
Calculons la norme de e1 : ||e_{1}|| = \sqrt{(1|1)} = \sqrt{\int_{-1}^{1} 1 dt} = \sqrt{2}
on poses donc f_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}

Ensuite on a e2=X
On pose g_2 = X - (\int_{-1}^{1} t.\frac{1}{\sqrt{2}} dt )\frac{1}{\sqrt{2}}= X

Puis ||g_2|| = sqrt{\int_{-1}^{1} X^2 dX} = sqrt{\frac{2}{3}}

Puis f_{2} = \frac{g_2}{||g_2||} = \frac{sqrt{3}X}{sqrt{2}

C'est bon ça ?

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:01

ça me semble bon

pour vérifier, tu peux regarder si llf1ff=1, llf2ll=1 et <f1.f2> = 0

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:07

pour moi ça marche si mes calculs sont corrects

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:18

non je me suis trompé dans les calculs :


Ensuite on a e2=X
On pose g_2 = X - (\int_{-1}^{1} X.\frac{1}{\sqrt{2}} dX )\frac{1}{\sqrt{2}} = X

Puis ||g_2|| = sqrt{\int_{-1}^{1} X^2dX = \frac{2}{3}

Puis f_{2} = \frac{g_2}{||g_2||} = \frac{3X}{2}

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:20

non non la norme de g2 c'est bien racine(2/3)

le premier calcul est bon

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:22

sinon, pour e3 = X^2

g_3 = X^2 - (\int_{-1}^{1} X^2.\frac{3X}{2}dx)\frac{3X}{2} non ?

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:24

g3=X² - <X².f1> - <X².f2>

dsl je suis mauvais en écriture latex

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:26

g3=X² - <X².f1>f1 - <X².f2>f2 en effet

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:37

g3=x²-1/3

llg3ll=2*racine(10)/15

f3=racine(10)*(3x²-1)/4

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:39

et la norme de f3 fait bien 1, par contre je fais tout par calculette, pour f3 les calculs deviennent vite longs...

et si jamais t'as f4 à calculer... bonne chance

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:40

bon moi je vais pas tarder, à plus et bonne chance pour les calculs

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 06-06-08 à 00:46

ok merci pour l'aide.

Posté par
lafol Moderateurre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 09:29

Bonjour
je remonte ce topic car il y a un truc que je ne comprends pas : que peuvent bien signifier des écritures "vecteur moins produit scalaire" comme le 05/06/2008 à 22:09 ?

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 09:33

Bonjour, ce sont des erreurs de ma part, c'est faux en effet

il faut rajouter le vecteur à coté du produit scalaire

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 09:35

ici le vecteur est e1


u3=X² - <X².e1>e1 - <X².e2>e2

Posté par
lafol Moderateurre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 09:38

OK, ça va mieux comme ça

Posté par
orelore : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 09:41

oui, j'ai écrit un peu n'importe quoi ce jour là

mais je pense que les résultats de 00:37 sont justes

Posté par
maths-rixre : Sujet Procédé d'orthonormalisation de Schmidt 17-06-08 à 22:29

Citation :
oui, j'ai écrit un peu n'importe quoi ce jour là


ah je comprends maintenant pourquoi je me suis fait affiché par ma prof de maths


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