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surjection de En+2 sur En
Cet énoncé un peu court semble cacher des difficultés... qu'en pensez vous ?
Déterminer le nombre de surjections de E n+2 sur En (n appartenant aux naturels non nuls)
( où En un ensemble possédant n élements)
Merci d'avance
On commence par choisir 2 éléments dans ; (ce qui fait
possibilités). Ensuite il y a exactement n! bijections des n éléments restants sur
. Enfin, les deux éléments mis de côté peuvent aller n'importe ou dans
, donc
possibilités.
Salut !
Camélia : tu commet une erreur je pense, en faisant ca tu peux compter plusieur fois certaine applications.
regarde ce qui ce passe pour n=1 : tu trouve qu'il y a (2 parmis 3) application de {1,2,3} dans {1} par exemple...
encore une ptites question...
dans le cas ou n=2, on a:
E n+2 possède 4 elements
En possède 2 elements
et il y a 8 surjections n'est ce pas ?
cependant 2^n donne 4 et ( n parmis n+2) donne 6, donc je comprend pas le résultat :s
Salut!
Tu as raison! Je pensais qu'à 2 de différence on pouvait éviter la méthode classique de récurrence, mais j'ai tort!
Comment on l'arrange?
de facon général, si on note A(k,n) le nombre de surjection de Ek dans En, on a que
somme de n=0 à u de (n parmi u )*A(k,n)= (nombre d'application de Ek dans Eu) = u^k
(en effet, une application de Ek dans Eu, c'est le choix du cardinal de l'image n, de l'image qui est une partie de cardinal n de Eu et enfin d'une surjection de Ek sur cette image...)
donc par inversion de Newton on a :
A(k,n)=somme de i=0 à n de (i parmis n)*i^k*(-1)^i
je sais pas si on peut faire plus simple sachant que k=n+2...
est-ce que dans le cas d'une surjection, 2 élements de l'ensemble d'arrivée peuvent posséder le meme antécedant ?
Non, certainement pas, les antécédents forment une partition. Néanmoins ma solution était indiscutablement fausse!
Une attaque possible, c'est de dire que si f est surjective de dans
il y a deux cas:
un (et un seul) élément de ) a 3 antécédents
si il y a exactement deux éléments de
qui ont chacun deux antécédents.
Mais comme je me suis déjà plantée une fois...
j'ai trouvé ceci ; http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/appsurj.pdf
mais ça m'étonne qu'on me demande de réaliser ce type de raisonnement pour un dm de PTSI... non ?
Oui, c'est bien à ce résultat que faisait référence Ksilver mais il se pourrait que juste entre n et n+2 ça soit plus simple... il faut regarder attentivement mon dernier post!
Bonsoir 
Et en raisonnant à l'arrivée ?
- soit deux éléments sont atteints deux fois,
- soit un élément est atteint trois fois.
Sauf erreur, on devrait trouver :
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