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Symbole de sommation finie, binôme de Newton

Posté par
_anthony 13-09-11 à 20:27

Bonsoir,

J'ai plusieurs questions à propos d'un exercice fait en classe... Si vous pouvez m'aider

1-

$\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $3^k$ $=$ $\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $3^k1^{n-k}$ $=$ $\sum_{k=0}^n$ $n\choose k$ $3^k1^{n-k}$ $=$ $4^n-1$

ici ce que je n'ai pas compris comment fait-on pour obtenir le "-1" ?

2-

$\sum_{k=0}^{n+1}$ $n\choose k$ $3^k$ $=$ $\sum_{k=0}^n$ $n\choose k$ $3^k1^{n-k} + 0$ $=$ $4^n$

dans ce cas, d'où vient le "+0" ?

Et enfin si quelque connaît un/des site(s) avec des exercices pour prépa ECS1, je prends

Merci d'avance et bonne soirée.

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 20:39

Bonjour,

Il y a un problème dans ta sommation : pour la troisième somme dans le 1), c'est de k = 1. En effet, C_n⁰3⁰1ⁿ = 1, d'où le "-1".

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 20:50

Merci.

$\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $3^k$ $=$ $\sum_{k=1}^n$ $n\choose k$ $3^k1^{n-k}$ $=$ $\sum_{k=0}^n$ $n\choose k$ $3^k1^{n-k}-1$ $=$ $4^n-1$

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 21:03

Et pour le 2, c'est juste pour faire la différence avec le 1... Là, tu peux calculer directement à l'aide du binôme de Newton.

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 21:08

Mais pourtant dans la formule du binôme de Newton, il s'agit de la somme de k=0 à n... Je ne vois donc pas pourquoi ça change rien au résultat

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 21:11

Dans la 2 ? Le truc, c'est que $n \choose {n+1}$ n'est pas définie ^^

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 21:14

Ah ben oui vu que n est inférieur à n plus 1
Merci !

Posté par re : Symbole de sommation finie, binôme de Newton 13-09-11 à 21:15

De rien et bonne soirée !

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