Bonjour,
Il faut garder a, d et p si j'ai bien compris...
Donc il faut prendre les deux équations du milieu où on considère que les inconnues sont b et c (2 équations , 2 inconnues).
On injecte ces valeurs de b et c dans les deux autres et on a a et d en fonction de p (on doit obtenir un système de 2 équations à 2 inconnues a et d)

Je vois ce que tu veux faire mais dans ce cas on aura

a=p([(1-p)a+cp]+1)
d=(1-p)(1-p)(b+1)+pd

Donc il y a toujours les inconnus c et b, ça ne change rien !

Non...
On prend d'abord ces 2 équations (2 inconnues b et c)
b=(1-p)a + cp
c=(1-p)(b+1) + pd
En le résolvant (ce que je n'ai pas fait complètement ), on va trouver
b = f(a,d,p)
c = g(a,d,p)
Et, en remplaçant b et c par ces valeurs dans les 2 autres équations :
a = p(b+1)
d = (1-p)c
Les b et c auront disparus puisqu'on les aura remplacés par leurs valeurs en fonction de a,d,p.

Je peux le faire complètement mais je suis à peu près sûr que ça marche...

D'accord mais en mettant en pratique on tourne en rond en cherchant à résoudre
b=(1-p)a + cp
c=(1-p)(b+1) + pd

Je sais pas comment t'expliquer mais si tu essayes à chaque fois qu'on enlève une inconnue on en rajoute une autre...

Bonjour,

je comprends ce que tu veux dire, mais la méthode de Mac35 doit marcher quand même.
Cependant je crois qu'il y a un peu plus simple:

la première ligne te donne a en fonction de b, tu peux donc l'injecter dans la seconde ligne et a aura disparu.

Ensuite, travaille sur la seconde pour exprimer c en fonction de b (et pas le contraire, qui serait plus compliqué ensuite).

Remplace dans la troisième, tu n'auras que des b et des d.

Enfin, utilise la quatrième pour remplacer dans la troisième les d par des c, tu n'aura plus que des c.

a = p(b+1)            (1)
b = (1-p)a + cp       (2)
c = (1-p)(b+1) + pd   (3)
d = (1-p)c            (4)

On prend la valeur de c dans 3 et on la met dans (2)
b = (1-p)a + p(1-p)(b+1) + p²d
Après quelques lignes de calcul :
b = ((1-p)a + p - p² + p²d) / (1 - p + p²)
D'où :
a = p(b+1)  (1)
Après quelques lignes de calcul :
a = p ((1-p)a + p²d + 1) / (1 - p + p²)

Dans (3), on remplace b par sa valeur tirée de (2) :
c = (1-p)((1-p)a + pc + 1) + pd
Après quelques lignes de calcul :
c = ((1-p)²a + 1 - p + pd) / (1 - p + p²)
Dans (4), on remplace c par sa valeur :
d = (1-p)c = (1-p) ((1-p)²a + 1 - p + pd) / (1 - p + p²)
Après quelques lignes de calcul :
d = (1-p) ((1-p)²a + 1 - p + pd) / (1 - p + p²)

On arrange a :
(1-2p+2p²)a = p²d+1   (5)
On arrange d :
(1-2p+2p²)d = (1-p)³a+(1-p)²  (6)
On tire d de (6) et on le met dans (5)
On trouve après quelques calculs :
a = (2-4p+3p²) / (1-4p+7p²-5p³+p⁴+p⁵)
On tire a de (5) et on le met dans (6)
On trouve après quelques calculs :
d = (2-5p+5p²-p³) / (1-4p+5p²-p³-2p⁴+p⁵)
Et on a a et d en fonction de p, ce qui répond à la question, je crois...
Calcul un peu long et fastidieux mais faisable... Je pense qu'il n'y a pas d'erreur...

sauf éventuelle erreur de calcul ou de recopie...