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Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot

Posté par
Nanikinder 02-11-08 à 10:09

Bonjour,
J'ai un certain nombre de systèmes à résoudre avec la méthode du pivot, seulement j'ai beaucoup de mal à mettre en place cette méthode qui est un peu brouillon pour moi. Alors si quelqu'un pouvait me l'expliquer simplement ... Ce serait gentil
Merci !

Posté par
lexou1729re : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 11:54

Bonjour,

Plutôt que de longs discours, le plus simple est de voir le principe sur un exemple.

Je te propose de résoudre le système suivant :
3$\{{2x-y+z=6\atop x+y-3z=-7\\ x-2y+z=7}

L'objectif numéro 1 est de se débarraser d'une des trois inconnues dans deux équations.
Comment ? Tu as le droit de multiplier chaque équation par le nombre réel de ton choix, puis d'ajouter (ou soustraire) les équations ainsi obtenues.

Par exemple, dans notre système, nous allons faire disparaitre les "x" apparaissant sur les deuxième et troisième lignes.
On ne touche donc pas à la première ligne 2x-y+z=6
On multiplie la deuxième ligne par 2 et on lui retranche la première ligne 2(x+y-3z)-(2x-y+z)=2(-7)-6
On multiplie la troisième ligne par 2 et on lui retranche la première ligne 2(x-2y+z)-(2x-y+z)=2\times7-6

Tu obtiens le système :
2$\{\array{rcl$2x-y+z&=&6\\ 3y-7z&=&-20\\ -3y+z&=&8}

Objectif 1 atteint

L'objectif 2 consiste maintenant à se débarraser d'une autre inconnue dans l'une des deux dernières équations. Nous allons par exemple faire disparaitre le "y" sur la dernière ligne.
On ne touche donc pas à la première ligne 2x-y+z=6
On ne touche donc pas à la deuxième ligne 3y-7z=-20
On ajoute la troisième et la deuxième ligne (-3y+z)+(3y-7z)=8+(-20)

On obtient le système :
2$\{\array{rcl$2x-y+z&=&6\\ 3y-7z&=&-20\\ -6z&=&-12}

C'est terminé (ou presque).Il suffit de résoudre les équations du bas vers le haut.
Ainsi, z=2 (troisième équation)
La deuxième équation devient :3y-7\times2=-20 soit y=-2
Enfin, la première équation devient :2x-(-2)+2=6 soit x=1

Bon courage

Posté par
Nanikinderre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 11:59

Merci pour la réponse, mais c'est la méthode du pivot ?
Parce que je n'avais pas vu celle la en cours mais plutôt celle qui consiste à placer des 1 et des 0 dans l'écriture d'une matrice. Je sais pas si j'arrive à me faire comprendre

Posté par
lexou1729re : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:06

C'est le même principe !

Posté par
Nanikinderre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:07

D'accord, mais est ce que tu pourrais me montrer l'autre principe stp ?

Posté par
lexou1729re : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:12

Euh, OK ... mais j'ai du mal à écrire les matrices en LaTex

Posté par
Nanikinderre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:13

Ah ...

Posté par
jeansebre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:27

Bonjour

Une petite aide pour lexou: pour récupérer le latex, fais juste un glisser-déposer dans des bornes latex.

3$\rm\(\array{2&-1&1\\1&1&-3\\1&-2&1\)

Posté par
jeansebre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 12:29

Citation :
fais juste un glisser-déposer
  ... si tu es sous mozilla

sinon, si tu es sous internet explorer, clic droit sur la matrice, propriétes, et tu récupères le latex dans la boite de dialogue, 1ère ligne je crois. Copier coller dans des bornes latex ensuite.

Posté par
lexou1729re : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 13:07

Merci jeanseb

Voici donc les matrices de départ.
3$A=\rm\(\array{2&-1&1\\1&1&-3\\1&-2&1\) et 3$B=\rm\(\array{6\\-7\\7\)

Citation :
On ne touche donc pas à la première ligne
On multiplie la deuxième ligne par 2 et on lui retranche la première ligne
On multiplie la troisième ligne par 2 et on lui retranche la première ligne


On obtient
3$A=\rm\(\array{2&-1&1\\0&3&-7\\0&-3&1\) et 3$B=\rm\(\array{6\\-20\\8\)

Citation :
On ne touche donc pas à la première ligne
On ne touche donc pas à la deuxième ligne
On ajoute la troisième et la deuxième ligne


On obtient
3$A=\rm\(\array{2&-1&1\\0&3&-7\\0&0&-6\) et 3$B=\rm\(\array{6\\-20\\-12\)

Si tu tiens absolument à faire apparaître des 1 sur la diagonale de A divise les premières lignes par 2, les deuxièmes lignes par 3 et les troisièmes lignes par -6.

On obtient
3$A=\rm\(\array{1&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&\frac{-7}{3}\\0&0&1\) et 3$B=\rm\(\array{3\\\frac{-20}{3}\\-2\)

Posté par
Nanikinderre : Système d'équation linéaire avec la méthode du pivot 02-11-08 à 13:09

Merci beaucoup !


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