Niveau Maths sup

systeme d'équations

Posté par
futuresight 06-09-09 à 19:00

Bonjour à tous,

J'ai un système d'équations à exposants à résoudre et je ne sais pas par où commencer

Déterminer les entiers n et p pour lesquels le système suivant a des solutions.

$\left\{ \\ \begin{eqnarray} \\ z^n=1\\ \\ (1+z)^p=1 \\ \end{eqnarray} \\ \right. \\$

Merci pour votre aide

Posté par re : systeme d'équations 06-09-09 à 19:05

bonjour

résoudre dans C ?

Rudy

Posté par re : systeme d'équations 06-09-09 à 19:13

z^n=1 donne |z|=1 z=cost + isint

1+z = 1+cost+isint = 2cos²t/2 + 2isint/2cost/2 = 2cost/2(cost/2 + isint/2) = (2cost/2).eit/2

Sauf erreur, tu devrais pouvoir conclure

Rudy

Posté par re : systeme d'équations 06-09-09 à 19:40

Bonjour,

$z^n = 1 \Longleftrightarrow \exists k \in \{0,...,n-1\}, z = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$

De même, $\exists k'\in \{0,...,p-1\}, z = e^{\frac{2ik'\pi}{p}} - 1$

On a donc $e^{\frac{2ik'\pi}{p}} - 1 = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$

d'où $e^{\frac{2ik'\pi}{p}}-e^{\frac{2ik\pi}{n}}=1$

soit $e^{i.(k\pi/n+k'\pi/p}.[-e^{i.(k\pi/n-k'\pi/p)}+e^{-i.(k\pi/n-k'\pi/p}] = 1$
donc $e^{i\pi(k/n+k'/p)}.(2sin(\pi.(k'/p-k/n)) = e^{i0}$
d'où $k/n + k'/p \equiv 0 [2]$

et $sin(\pi.(k'/p-k/n))= 1/2$ , d'où $k'/p - k/n \equiv 1/6$ ou $5/6 [2], soit 6(k'/p - k/n) \equiv 1$ ou $5 [12]$

Je pense qu'il est maintenant possible de conclure sur n et p En espérant ne pas avoir fait d'erreur

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