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systeme et SEV
Bonsoir , j'ai un exercice intéressant ( enfin intéressant pour moi car pour vous ça doit etre emmerdant à mourrir ) : Soit F le sev dans R^5 définit par le système :
x+y+z+t+u = 0
2x+3y+3z+t+u = 0
Je dois déterminer une base de ce sev .
Donc j'applique le pivot de gauss pour arriver à ce système :
x+y+z+t+u = 0
2z+2y+x = 0
ce qui veut dire que chaque vecteur du sev s'écrit sous la forme :
(-2z-2y,-z+t+u,-y+t+u,y+z-t,y+z-u) , donc que tout vecteur de ce sev s'écrit comme combinaison liénaire de :
y(-2,0,-1,1,1) + z(-2,-1,0,1,1) + t(0,1,1,-1,0) + u(0,1,1,0,-1) .
Ma 1ere question vient ici : est ce que je peux dire que ces vecteurs sont des vecteurs générateurs de ce SEV ou je dois d'abord résoudre un systeme avec second membre ?
merci
Bonsoir,
générateur oui mais ca te donne pas une famille libre.
Je comprend pas ton passage du système à l'expression des vecteurs du sev, j'aurai plutot fixe y,z et t et ca me donnait x et u en fonction de ces paramètres.
ben tout est dit dans mon message 
, donc et ensuite pour trouver une base , avec mes 4 vecteurs je peux utiliser le théorème de la base extraite ?
PS : comment tu arrives à fixer 3 coordonnées ? on peut en fixer qu'une : x = -2z - 2y...
Bien pour moi tu fixais y et z donc tu obtiens x=-2z-2y, donc le début ca serait (-2z-2y,y,z,...)
Ainsi tu vois en réinjectant dans la première équation que -2z-2y+y+z+t+u=0 d'ou -y-z+t+u=0 et si tu fixes t ou u tu as l'autre, exemple tu fixes t tu obtiens u et donc ton système solution est de la forme (-2z-2y,y,z,t,y+z-t).
Ainsi tu vois apparaitre que ton sev est de dimension 3 car tu fais varier 3 paramètres y,z et t.
Oui tu peux en extraire une famille libre à 3 éléments mais je pense que tu as fait une erreur car (-2,0,-1,1,1) n'est pas dans le sev vu que la somme de ces coordonnées vaut -1 et pas 0.
Ici sur l'exemple on voit bien qu'en fixer deux en donne une troisième et qu'il nous reste un degré de liberté pour en fixer une troisième comme paramètre.
En fait il y a un théorème général qui te dit que le sev définit par tes 2 équations va être de dimension 3(5-2),car les équations qui le définissent sont libres(non proportionnelles ici).
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