Bonjour acen,

Tu n'as pas entièrement recopié ton énoncé.
Je devine qu'il s'agit de résoudre le système linéaire Ax=B par une méthode itérative; essaie d'écrire toutes les hypothèses.

Au fait , il s'agit plus d'une démonstration , que d'une résolution pure d'un système.

Il y a peut être la première question qui peut vous donner des idées.
il m'est demandé de vérifier que si cette méthode converge vers un vecteur x , alors ce vecteur est solution du système Ax=b.
je l'ai déjà faite.

De tu dois obtenir d'où .
Ensuite .
J'ai utilisé une notation en indices plutôt qu'en exposants.

Merci,
pour la première , je trouve bien ça : MX_{k+1}=MX_k+r_k
(on remplace N par (-A+m) et on développe).
Pour la dernière question , j'ai pas réussi a retrouver e^k+1.
Au fait comme e^k=x-x^k , j'ai posé x^k=e^k+x , et je l'ai remplacé dans le résultat x^(k+1)=x^k+M^-1 r^k ...



ps: vous pouvez m'expliquer rapidement à quoi sert le vecteur résidu SVP

Pour obtenir e_k+1 on change k en k+1 dans la définition de e_k.
Le vecteur r_k=B-Ax_k sert à mesurer l'écart entre B et Ax_k, valeur approchée obtenue en remplaçant la solution exacte x par la solution approchée x_k.

e^k=x-x^k <=> x^k=x-e^k
e^(k+1)=x-x^(k+1) <=> x^(k+1)=x-e^(k+1)

Et on remplace dans X^(k+1)=X^k+M^(-1)r^k , pour obtenir e_{k+1}=e_k-M^{-1}r_k.

Mais d'après notre prof n'est pas convaincu que e^k+1 est bien exprimé en fonction e^k ... :s , surtout que la question qui suit dépend de ce résultat :
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que l'erreur e^k+1 tende vers 0 ...

De on déduit avec :
d'où par récurrence (la suite (e_k) est géométrique).

Ok merci , j'ai reussi à faire les questions qui suivent.
Dans la partie 3 , on applique cela aux methodes de Jacobi et de Gauss-Seidel:

"Dans cette methode on calcule x^k+1 à partir de x^kcomposantes par composantes et en écrivant que chaque composante du vecteur résidu est nulle,c'est à dire que r_i^k+1=0 pour i=1,...,n"

q1:En deduire l'expression de A_i,ix_i^k+1
Rep: on sait que r_i^k+1=0
donc r_i^k+1=B-A_i,ix_i^k+1=0
soit B=A_i,ix_i^k+1
Le prof n'est pas d'accord, d'aprés lui il ya une confusion entre vecteurs et réels ..

Bonsoir,

Dans les méthodes itératives on n'obtient pas r_k=0, c'est seulement la limite de la suite r_k qui est nulle. On s'arrête quand l'erreur e_k est suffisamment petite.
Le prof a raison puisque B est un vecteur alors que A_i,jx_i^k+1 est un réel.

Ok merci , je vais essayer d'autres pistes ...
Si quelqu'un aurait une idée , n'hésitez pas!

Bonjour ,


Voici ce que j'ai trouver pour l'expression A_i,ix_i^k+1 :

Dans cette méthode on calcule xk+1 à partir de xx composantes par composantes et en écrivant que chaque composante du vecteur résidu est nulle, c'est-à-dire que rik+1 = 0, pour i=1, …, n.

1) On cherche l'expression de Ai,ixik+1  

On cherche à résoudre le système Ax = b, qui peut se présenter sous cette forme :

        a11    a12       x1           ═ b1
         a21    a22       x2             b2


On obtient :
a11 x1 +   a12 x2  = b1
a21 x1 +   a22 x2  = b2

On cherche à déterminer a11 x1k+1 :
   r1k+1 = b1 - (a11 x1k+1 +  a12 x2k) = 0
Donc    a11 x1k+1 = b1 - a12 x2k

On cherche à déterminer a22 x2k+1 :
   r2k+1 = b2 - (a21 x1k  + a22 x2k+1) = 0
Donc    a22 x2k+1 = b2 - a21 x2k

On peut en déduire l'expression de Ai,ixik+1 :
    
Ai,ixik+1   = bi -   aij xjk  , pour j≠i


2)  On doit expliciter les matrices M et N

J'ai pas vraiment d'idée la-dessus, si ce n'est que ce que j'obtiens ça ressemble à la formule Mx^(k+1)=Nx^k + B

le résultat c'est ça : Ai,ixik+1   = bi -   aij xjk  , pour j≠i