Peux tu rappeler à mon vieux cerveau ce qu'est la trace d'une matrice ?

c'est la somme de ses coefficients diagonaux !

Bonsoir amelie22,

Pour le premier exercice il faut effectivement calculer la trace, on obtient une équation d'inconnue Tr(M); il y a alors 3 cas à distinguer quand on cherche à calculer Tr(M).

Pour le second il faut distinguer les deux cas: Tr(M) nul et Tr(M) non nul.
Le premier cas fournit une partie des solutions.
Le second cas donne deux conditions sur A (une faisant intervenir Tr(A)).

mais en fait pour le premier cas j'ai fait cette methode, la prof m'a dit que c'etait juste mais qu'il y avait une autre methode "faisant intervenir u(M)=M+Tr(M)A en regardant l'injectivité et donc la bijectivité..."

2eme exo :

pour trouver une condition nécessaire, on applique Tr --> Tr(M + t(M)) = Tr(Tr(M)A) d'où Tr(M) + Tr(t(M)) = Tr(M)Tr(A)
Or Tr(t(M))=Tr(M) (je crois) donc Tr(M) ( 2- Tr(A) ) = 0
-->soit Tr(M) =0 --> M a ses coeff diagonaux nuls
soit Tr(A)=2 --> comment conclure ?

ensuite on vérifie que ces solutions conviennent et donc que la condition est suffisante

pffffffff ma mémoire flanche. Ya pas un (des) théorèmes qui font intervenir la trace d'une matrice et, par exemple, son polynome caractéristique ?

je ne pense pas en avoir vu ... non

personne d'autre ne peut m'aider ? merci

Bonsoir,

Pour le deuxième exercice:
Si M est une solution alors Tr(M) ( 2- Tr(A) ) = 0.

Premier cas: Tr(M)=0 d'où M+t(M)=Tr(M)A=0 donc t(M)=-M ; M est une matrice antisymétrique.
Réciproquement, si M est antisymétrique alors Tr(M)=0 donc les matrices antisymétriques sont des solutions.

Deuxième cas: Tr(M) non nul donc Tr(A)=2.
De plus, donc A est symétrique.

Discussion:
Si A ne vérifie pas les 2 conditions Tr(A)=2 et t(A)=A alors les seules solution de l'équation sont les matrices antisymétriques.

Si Tr(A)=2 et t(A)=A, en écrivant avec et on obtient M_1=kA donc avec antisymétrique. On vérifie que ces M sont bien des solutions car Tr(M)=2k et M+t(M)=2kA=Tr(M)A.

merci beaucoup