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th de burnside-Molien , représentations irréductible et fidèle
Bonjour,
Je n'arrive pas à conclure dans un exercice , je viens donc demander un peu d'aide! Merci d'avance 
Le but de l'exercice est de montrer que Si V est une représentation fidèle d'un groupe fini G (c'est à dire sur 
:G
GL(V) est injective) , alors toute représentation irréductible de G est contenue dans une certaine puissance tensorielle de V
Dans tout l'énonce G est un groupe fini
Soit :G GL(V) une représentation de G. J'ai montrer que 
(g) = trace(
(g)) =dim(V) 
(g) = Id
Soit V une représentation fidèle de G et W une représentation irréductible de G. On note le caractère de la représentation de la puissance nième tensorielle de V ( V tenseur V tenseur V tenseur ... n fois) et on pose
(
,
)
J'ai montré qu'on a
Et puis là il faut pouvoir conclure pour démontrer le théorème et je ne vois pas.
J'imagine qu'il faut utiliser la fidèlité de V c'est à dire que (g) = trace(
(g)) =dim(V) g=e
J'ai vu que les correspondait au nombre de représentation irréductible incluse dans les puissances tensorielles de V mais je ne comprends pas pourquoi. je serais ravie si quelqu'un peut m'apporter ses lumières!
Bonne soirée et merci d'avance
Sauf si quelqu'un de plus compétent que moi est capable de répondre, je conseillerais de chercher dans un ouvrage spécialisé sur les représentations des groupes finis. Cordialement.
Merci pour ton idée, mais j'ai déjà cherché! Les livres sur les représentations et les caractères ce n'est pas non plus ce que tu trouves en grande quantité!
J'ai même la correction "rapide" de ce truc! mais je n'y comprends rien et ça ne m'aide pas...et ce que j'aime moi c'est comprendre
La correction dit que les an correspondent au nombre de représentation irréductible incluse dans les puissances tensorielles nième de V
et puis par fidélité, est un pôle de notre série ( je ne sais pas ce qu'est un pôle) donc il existe au moins un an non nuls ce qui conclue ^^
Merci d'avance!
Bonjour,
ta série formelle peut se mettre sous la forme d'une fraction rationnelle. Un pôle de la série, c'est une valeur de t qui annule le dénominateur, ou encore une valeur de t pour laquelle la série diverge.
Si cette série admet un pôle, c'est donc bien que ce n'est pas la série nulle (sinon la fraction rationnelle serait le polynôme nul, et n'admettrait pas de pôle), donc qu'il existe un terme an non nul.
Tu as do
nc juste besoin de prouver que la fidélité entraîne que la série de terme général (an/(dim V)n) est divergente. 
Pour le reste, je ne peux pas t'aider, j'ai bien étudié les représentations des groupes finis un semestre, mais ça remonte! 
Bonjour,
Ben comme tu l'a dit tigweg, vu que la série des a_n t^n est non nulle c'est que l'un des coeff est non nul, a partir de là c'est fini.
Ensuite si tu est sur un corps alg clos toute représentation est semi simple et peut donc s'ecrire somme directe des m_i(V)V_i ou les V_i sont des représentations irréductibles. Par orthogonalité des caractères tu obtiens que m_i est le produit scalaire du caractères de la représentation avec celui de V_i
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