Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Théoreme de Beatty
Bonjour a tous,
A quoi peut bien servir ce théoreme, je veux dire dans quels genres d'exercices peut-on l'appliquer ?
Théoreme de Beatty : a et b sont deux réels strictement positifs. On appelle S(a) [resp. S(b)] l'ensemble des entiers [na] ( resp [nb] ) pour un certain entier n.
S(a) et S(b) forment une partition de N° si et seulement si a et b sont irrationels et 1/a + 1/b = 1
Bonsoir,
On note et
la partie entière supérieure de x.
Lemme 1 :
Démonstration :
Soit k dans C(a,n) :
Lemme 2 :
Trivial avec le lemme 1 :
----------------------------------------------
Démonstration du théorème de Beatty :
Sens direct :
Si S(a) et S(b) forment une partition de N*, alors et
forment une partition de
et donc
pour tout n.
ie :
On a alors l'encadrement :
D'où en faisant tendre n vers l'infini,
De plus, supposons que l'un des deux soit rationnel, alors l'autre l'est aussi.
Dans ce cas il existe p,p1 et q dans N* tels que .
Mais :
qui est dans S(a) et S(b). Absurde.
Sens indirect:
On sait que
Ainsi pour n=1, 1 est dans ou
mais pas dans les deux.
montrons alors par récurrence sur n que et
forment une partition de
.
On a
Supposons que n+1 ne soit ni de la forme E(ka), ni de la forme E(kb), alors et
et donc n+1=n Absurde
Supposons que n+1 soit en même temps de la forme E(ka) et E(kb) :
et
et donc n+1=n+2 Absurde.
CQFD
Jord
excusez moi de remonter un ancien sujet mais je trouve ce genre de démo intéressante mais ca coince:
au niveau du lemme 1, je suis d'accord avec les équivalences mais je ne vois pas en quoi elles permettent de démontrer l'égalité :
moi j'aurais en plus montrer que : ssi
?
merci
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac