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Niveau Maths sup
Théorème de Bernsein
Posté par PloufPlouf06
Bonsoir,
J'ai un petite problème que voici:
Soit E et F deux ensembles. On suppose qu'il existe une injection i : E -> F et une injection j : F -> E.
Nous allons montrer que l'on peut écrire E = A union B, A inter B = { }, et F = A' union B', A' inter B' = { } avec i|A : A -> A' bijective et j|B' B' -> B bijective. On en déduira alors qu'il existe une bijection de E sur F.
Citation :
Considérer|j(F-i(A))\subset E-A\})
. Montrer que A est non vide et est stable par réunion.
Considérer
Pour ça, j'ai dit que l'ensemble vide appartient à X donc il est non vide.
Puis pour la stabilité, si A et B appartiennent à X, on a :
Citation :
Montrer alors que X admet un plus grand élément pour la relation d'inclusion
Montrer alors que X admet un plus grand élément pour la relation d'inclusion
Là par contre la seule idée (approximative) que j'ai c'est que si l'on considère l'ensemble des éléments de X, leur réunion est le plus grand élément d'après la question précédente, et cette réunion se limiterait peut-être à E ?
Citation :
En déduire qu'il existe une bijection entre E et F
En déduire qu'il existe une bijection entre E et F
Il me faut ce qu'il précède pour ça
Merci d'avance pour votre aide
Salut 
ben oui, la réunion M de tous les éléments de X est dans X et contient tous les éléments de X, c'est bien son plus grand élément.
Pour la suite, essaye de construire cette fameuse bijection en prenant les cas où x appartient ou non à M.
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