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Théorème de Steinitz
Bonjour,
je n'ai pas bien compris la démo du théorème de Steinitz qui dit que tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos. Je me suis basé sur le livre de Lang. Si vous l'avez ça sera plus simple, mais pour ceux qui ne l'ont pas, je résume.
On considère un corps k, et le corps des polynômes k[X]. A chaque polynôme P, on associe une indéterminée . On considère l'ensemble
. Je considère ensuite l'anneau k[S], et je définis enfin l'idéal
. Je veux montrer que
n'est pas k[S] tout entier. Par l'absurde, je suppose que c'est le cas. Alors 1=
, avec une somme finie et les
dans k[S].
Première question : pourquoi la somme est elle finie ? On considère un idéal engendré par un nombre infini d'éléments ; chaque élément de cet idéal peut donc s'écrire comme une somme finie des générateurs ? C'est une définition de l'idéal engendré ?
On continue en disant que les ont un nombre fini d'inderminées et on écrit
.
Deuxième question : pourquoi les ont un nombre fini d'indeterminées ? Et pourquoi ces indeterminées sont les
, ça pourrait être des
où Q est un tout autre polynôme de k[X], non ?
Merci de votre aide !
Bonjour,
Oui c'est la definition une somme infinie n'a pas de sens
Ben un polynome a par definition un ombre fini d'inderterminées. Les X_P_i ben c'est leur nom ils sont quelconqus, en nombre finis c'est tout. en particulier parmi les X_P_i qui sont les variables de g_i il y a ceux des P_i
Merci Rodrigo,
mais dans Lang, il précise , où N est le nombre d'indeterminées des g_i, et n le nombre de P_i.
J'aurais envie de dire que dans les g_i, il y a un nombre fini d'indeterminées X_Q_i, et que parmi ces indeterminées, il y a au plus n indeterminées du type X_P_i, t'es pas d'accord ?
Ben des indeterminées tu peux toujours en rajouter, le polynome X²+X+1 rien t'empeche de dire que c'est un P(X,Y) ou meme un P(X,Y,Z) ou ce que tu veux...K[X], s'injecte tranquillement dans K[X,X_i]
Bonjour,
je bloque sur un autre point de la démo du théorème de Steiniz (qui dit que tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos). Je récapitule le début de la démo : on considère un corps k, et le corps des polynômes k[X]. A chaque polynôme P, on associe une indéterminée . On considère l'ensemble
. Je considère ensuite l'anneau k[S], et je définis enfin l'idéal
.
J'ai montré qu'il existait un idéal maximal J contenant I. J'apelle L=k[S]/J. J'ai montré que c'était une extension de k. Je n'arrive pas à montrer que tout polynôme de k[X] a une racine dans L...
Merci de votre aide !
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édit Océane : Poursuis dans ton topic, merci 
Ok merci !
Elle est vraiment tordue cette démo, je ne suis pas habitué aux objets avec lesquels on travaille !
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Eh oui, il n'y a rien à faire, quelque part on utilise l'axiome du choix (sous la forme Zorn). Dans ta démonstration c'est l'existence de l'idéal maximal qui l'utilise.
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Ben en fait elle est tres naturelle (tu t'en apercevra sans doute dans quelque temps), on sait construire une extension de n'importe quel corps dans lequel un polynome est scindé, donc on sait construire une extension dans le quelle n'importe quelle famille finie de polynome est scindé.
Mainteannt on veut le faire pour tout. Ce qui passe par une recurence transfinie (donc l'axiome du choix). Maintenant ce que fait Lang (mais qui est une idée d'Artin en fait, tres tres fort le monsieur) c'est il shunte cette recurence transfinie en rajoutant plein d'indeterminées...
Vu que ce qui nous interesse c'est les polynômes a une variable , on rajoute une variable pour chaque polynome et vu que pour construire un corps de rupture d'un polynome P il suffit de regarder k[X]/P (pour P irreductible) il regarde don enorme algèbre quotienté par les (P(X_P)) ce qui assure de rajouter a la main une racine a tous les polynomes a une variable, il y a deux choses a verfier (en fait une seule) que l'on peut bien quotienter c'est a dire que l'idéal I=(P(X_p)) n'est pas l'algèbre entière, ce qui est raisonnable parce qu'au final on a vraiment "peu" de polynome dans I. Et de verifier que l'algèbre obtenue est un corps...En fait c'est en pas un, mais c'est pas grave il suffit de prendre un idéal maximal qui contient I.
Une fois qu'on a ce gros corps de rupture on en fait une cloture algébrique de façon elementaire.
Voila, j'ai essayé d'eclairer un peu la trame de la démo.
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Ok, merci Rodrigo, ca m'a fait comprendre quelques points, même s'il en reste d'autre que je ne saisis pas. "shunter" et "récurrence transfinie" sont des termes que je ne connais pas ! Mais j'imagine que je verrais ça un jour...
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Heu shunter...c'est de l'electronique, c'est une sorte de "pontage" électrique, ca veut dire ici qu'il évite la récurrence transfinie (mon prof de sup utilisait souvent cette expression, lol).
Recurrence transfinie, c'est une recurence...mais sur un enesemble plus grand que N. Bref...tu verra ca en temps utile (d'ailleurs on utilise encore le mot comme du folklore mais la vrai reccurence transfinie de Cantor sur les ordinaux est remplacée par l'utilisation du lemme de zorn)
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