Bonsoir à tous

Cela fait déjà un certain moment que je me pose cette question et je n'arrive pas à trouver une réponse satisfaisante. Je m'en remets à vos compétences...

La démonstration classique du théorème de Wedderburn est assez moche. Il n'y en a pas 36, la plus courante, celle que j'ai toujours vue utilise des actions de groupes. (J'ai pas de pdf sous la main, désolé, mais vous voyez certainement de quoi je parle, n'est ce pas?).

Or on sait que tout corps fini k de caractéristique p (a priori non commutatif) est un sur-corps de F_p. C'est donc un F_p espace vectoriel et son cardinal est donc une puissance de p, disons p^n. Ainsi, d'après Lagrange on a même mieux: k est un corps de décomposition de X^{p^n}-X sur F_p. Donc tous les corps de cardinal pⁿ sont isomorphes (fatalement...) et vu qu'il y en a un qui s'identifie à F_p[X]/(P) où P irréductible de degré n ils sont tous commutatifs...

Bon d'accord, la dernière affirmation nécessite quand même quelques précisions. Je reconnais que ce n'est pas complètement triviale mais bon... c'est franchement moins moche que la démo classique de Wedderburn. Vu qu'on la voit jamais sous cette forme, je me dit qu'à un moment ou à un autre j'utilise un résultat qui découle de Wedderburn mais je ne vois pas vraiment où...

Si quelqu'un a un peu de temps à perdre, ça serait sympa.

Merci d'avance.

Ayoub.