Bonjour a tous,j'aurai besoin d'aide pour un exo :

Soit E un espace de Banach et T un operateur lineaire de E dans E qui envoie toute suite xn faiblement convergante vers 0 a une suite faiblement convergante vers 0 .
Mq T est continue .

Pour repondre a cette question je souhaite utiliser le theoreme du graphe fermé .

Donc je prend une suite (xn,yn) appartenant a G(T)  (le graphe de T) qui converge fortement vers (x,y) dans E.
Le but est de montrer que x et y appartiennent a G(T) et que T(x) = y .

Donc soit f appartenant au dual de E .
D'après toutes les hypotheses on a :

f(Txn) converge vers f(y)
f(txn) converge vers f(Tx)

Par unicité de la limite f(y) = f(Tx)
Voila a quoi j'abouti .
Pour avoir y=Tx je pense qu'il faudrait que f soit injectif .. Dond j'arrive pas a conclure . D'autre part comment montrer que x ou y appartiennent a G(T) ??

Je vous remercie d'avance pour votre aide en esperant avoir été clair !