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Theoreme du rang et Endomorphisme
Bonjour,
je me pose une question sur le theoreme du rang dans le cas particulier des endomorphismes en dim finie.
Soit f un endomorphisme de E dans E, de dimension finie n.
Le théorème du rang nous dit que dim Im f + dim Ker f = n ou bien que tout supplémentaire de Ker f est isomorphe à Im f. Dans le cas d'un endomorphisme, peut on alors ecrire aussi Ker f+Im f=E ? JE vois bien que c'est pas possible si f va de E dans F mais si F=E je ne vois pas le pb ?
Merci,
Olivier
Bonsoir.
Il est vrai que dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E) fait penser à une somme directe entre le noyau et l'image.
Il n'en est rien car dans E, l'intersection de Ker(f) et de Im(f) n'est pas forcément réduite à {0}.
Exemple.
Prenons E = IR² et f : E 
E défini par f((x,y)) = (y,0)
On voit aisément que f est un endomorphisme de E.
Ker(f) = {(x,0), x 
IR}
Im(f) = {(y,0), y IR}
On a ici : Ker(f) = Im(f).
Merci pour cet exemple, j'adhère à ce point. Par contre, je pensai seulement à une somme non directe.
Soit F=Ker f + Im f. Comme dim F=dim E, alors F=E => vrai ou non ?
Dans votre exemple, ca ne marche pas donc je fais une erreur quelque part ?
Olivier
C'est bon j'ai trouvé mon erreur, dim F n'est pas égal à dim Ker f + dim Im f mais bien à dim (Ker f+Im f) !!
Merci pour votre aide, c'est l'exemple qui m'a mis sur la voie !
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