Bonjour

xRy veut dire que x et y vérifient une relation.

Alors si on a une relation d'ordre total (R avec des axiomes). Supposons que x et y soient tous les deux des plus petits éléments. Comme l'ordre est total, x et y sont comparables et on a x R y puisque x est le plus petit. De même on a aussi y R x. mais une relastion d'ordre est antisymétrique, donc x=y.

merci beaucoup
si j'ai bien compris xRy cest que x par R devient Y (un peu comme une fonction).
cependant, au risque de paraitre stupide je ne comprens pas tout le reste.dns mon exercice il est dit que:
R est do'rdre lorsque elle est a la fois reflexive, transitive et antisymetrique (leur phrase symbolique est marqué sur la feuille), et qu'elle est totale lorsque pour tout couple (x,y) appartenant a E carré (xRy ou yRx)
il dit aussi que F est dit minoré par un element m de E lorsque pour tout x appartenenat a F xRm. de plus si m appartien à F, m est appelé plus petit élément.
Mais je vois pas du tout le lien entre tout ces elements
merci
b.c

Non, ce n'est pas comme une fonction! On regarde si pour le couple (x,y) quelque chose est vrai ou faux! Dans R la relation d'ordre usuelle est une relation d'ordre total. Si on prend x et y au hasard l'une des propositions ou est vraie. Les deux le sont si et seulement si x=y.

d'accord mais comment je fais pour mon exercice alors. je dois lier xRx (reflexive), (xRy et yRx)=> xRz (antisymetrique), (xRy et yRz)=> x=y et le fait que la relation est total avec le fait qu'elle ait au plus 1 plus petit élément noté m, mais comment
merci
B.c

je l'ai entièrement rédigé à 16:56

Bonjour à vous,

je crois que Bastien n'a pas bien compris ce qu'est une relation...

par exemple si tu appelles R la relation "être strictement inférieur à"

tu as 3R5 ; 3R7 ; (-2)R0 ... mais 5R1 est faux

ah ok
je commence a comprendre merci.mais je comprens pas comment on trouve:x et y sont comparables et on a x R y puisque x est le plus petit.
merci

mais ta relation R peut-être n'importe quoi, tu sais juste que c'est une relation d'ordre total..

Apprends ton cours !

Dis moi ce que signifie que la relation R est une relation d'ordre total...

cela sigifie que pour tout (x,y) appartenant a E carre (xry ou yrx)

il faudrait peut-être donner aussi les propriétés d'une relation d'ordre... !

ah oui:
une relation d'ordre est reflexive: pour tout x appartenat a E xRX
                         transitive: pour tout (x,y,z) appartenat a E cube (xRy et yRz)=> xRz            antisymetrique: pour tout (x,y) appartenat a E carre xRy et yRx)=> x=y

bon

et on te demande de montrer quoi ?

qu'il existe au plus un plus petit element.( c'est a dire mRx ou m est le minorant de F, et de plus m appartient a F)

ben suppose qu'il y en a deux !

si il y en a deux note a et b on a aRx et bRx  mais comme elle est  totale on peut dire aRx et xRb dc comme elle est  antysymetrique b=a
c'est ca ? parce que je ne suis pas sur de ma deduction par rapport au fait qu'elle soit totale car le connecteur est "ou" et pas "<=>".

quel fouillis ! c'est quoi x ???

rédige moi cela proprement s'il te plait !

Soit F un sous ensemble de E...

supposons que a et b soient deux plus petits éléments de F

je te laisse continuer

soit x fixé
on peut alors dire que aRx et aussi bRx
or on sait que la relation est totale donc: xRa
Or la relation et antisymetrique donc bRx et xRa => a=b
donc il existe au plus 1 et 1 seul plmus petit element

tu n'as pas vraiement compris ce qu'est une relation totale !

x fixé dans quoi ????

et pourquoi xRa ???

et je vois mal comment tu déduis a=b avec bRx et xRa !!!????

je sais pas pour x mais c'est un element de E non?
pour le reste j'ai essaye dapplique le fait que R etait totale et antysimetriqu mais a prioro je me suis trompe

je crois que tu n'as pas du tout compris ce qu'on te demande de démontrer et que tu n'as pas vraiment compris non plus les axiomes et propriétés d'une relation d'ordre total. tu les as bien cités, mais tu ne sais pas les appliquer


voici ce qu'on appelle un raisonnement :

supposons que F, partie de E, ait deux plus petits éléments a et b

cela signifie que :
(*) pour tout élément x de F comparable à a, on a : aRx
et que
(**) pour tout élément y de F comparable à b, on a : bRy

comme la relation d'ordre est totale, a et b sont comparables.

en appliquant (*) avec x=b, on obtient aRb
et (**) avec y=a on obtient bRa

par antisymétrie, cela donne a=b

donc, s'il existe, le plus petit élément de F est unique.

et pis c'est tout !

MM

OK
merci beaucoup mais derniere chose apres j'arrete, je comprends pas trop ce que veut dire total: xRy ou yRx
merci

et que a et b sont COMPARABLE?

xRy est l ensemble des y qui a relation avec x.cette relation bien sur c est R

OK merci beaucoup
ce forum est toujours aussi bien
merci pour tout
B.C