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théorie des groupe(cycliques)
Bonjour tout le monde,
voilà,y'a une question à la fin de mon exercice,je vois pas ou elle veut m'emmener...
voyez-plutot:
a)Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique
b)Soit G un groupe cyclique d'ordre n;montrer que pour tout diviseur d de n il existe un unique sous-groupe d'ordre d et montrer que ce sous groupe est égal à {g dans G tq g^d=1}.
jusque là aucune difficulté!
et on me demande:
ce résultat est-il vrai en général?
cad??
je comprend pas trop la question?
Merci de votre aide
Salut Robby;
si G un groupe (pas forcément cylique) d'ordre n, et si d divise n, existe-t'il un sous-groupe d'ordre d?
Salut Nightmare
cad on me demande si G un groupe d'ordre n...pour tout diviseur d de n est-ce qu'il existe un unique sous groupe d'ordre d??
Bonjour
Il me semble que la réponse doit être du genre: si d divise n il se peut qu'il n'y ait pas de sous-groupe d'ordre d, comme il peut y en avoir plusieurs!
Par ailleurts je signale que l'existence et l'unicité d'un sous groupe d'ordre d pour chaque diviseur strict de n entraine la cyclicité du groupe!
Il me semble que la réponse doit être du genre: si d divise n il se peut qu'il n'y ait pas de sous-groupe d'ordre d, comme il peut y en avoir plusieurs!
Par ailleurts je signale que l'existence et l'unicité d'un sous groupe d'ordre d pour chaque diviseur strict de n entraine la cyclicité du groupe!
>Salut Camélia!
si tu as le temps ce week-end,je veux bien voir ça
dans (Z/2Z)^3, on a l'existence mais pas l'unicité. Je ne vois pas de groupes pour l'instant où on a pas l'existence
ah oui c'est vrai A4 n'a pas de sous-groupe d'ordre 6,
mais dans le cas où G est abélien, on peut trouver des contre-exemples encore?
Bonjour
Comme promis... Voilà une manière de procéder (ce n'est pas la seule, mais c'est ma préférée).
On note
la fonction d'Euler. Il est bien connu qu'un groupe cyclique d'ordre m possède
générateurs. Un groupe cyclique d'ordre n possède un et un seul sous-groupe d'ordre d pour chaque diviseur d de n, et chacun de ces sous-groupe contient
éléments d'ordre d. On a donc
Soit G un groupe d'ordre n qui pour chaque diviseur d de n possède un et un seul sous-groupe d'ordre d.
Soit d un diviseur de n et soit k(d) le nombre d'éléments d'ordre d de G. S'il n'y en a pas, on a k(d)=0. Supposons qu'il y en ait. Soit x d'ordre d. Alors x engendre un sous-groupe cyclique H d'ordre n.
(*)Mais tout autre élément d'ordre d engendre aussi un sous-groupe d'ordre d et comme
il n'y en a qu'un, c'est forcémént H.(**)
Par conséquent les éléments d'ordre d sont les générateurs de H et on a
Donc k(d)=0 ou
En comparant avec l'égalité de
Soient K un corps commutatif et soit G un sous-groupe d'ordre n du groupe multiplicatif K*. Alors G est cyclique.
On reprend exactement la démonstration ci-dessus et on remplace la partie entre (*) et (**) par:
(*) Comme H est un groupe d'ordre d, on a hd=1 pour les d éléments h de H. Le polynôme Xd-1 a au plus d racines dans K, donc elles sont toutes dans H.(**)
salut Camélia,je lis au fur et à mesure avec attention, et
Soit x d'ordre d. Alors x engendre un sous-groupe cyclique H d'ordre n.
>pourquoi H d'ordre n(pas d?)
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