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théorie des groupes
salut à tous! j'ai un petit souci avec un exercice sur le neutre d'un groupe.
on considère un groupe fini de cardinal égal à 2. soient e et x les éléments de ce groupe, e étant le neutre pour la loi multiplicative.
alors:
e*e=e
e*x=x
x*e=x
x*x=e
je ne comprends pas cette dernière égalité. j'ai beau essayer de la démontrer en partant des différentes écritures de x (x=e*x=x-1*x*x) je n'arrive pas à retomber sur cette formule.
pour moi, x*x=x.
ce serait sympa un petit peu d'aide. merci
Salut
T'as un groupe, alors tout élément est inversible
il est de cardinal 2 et il doit contenir e, donc ses éléments sont e et un x
or x est inversible et son inverse est différent de e donc son inverse est lui même (idempotent)
Bonjour,
on a a priori deux possibilités, ou bien x*x=x ou bien x*e=e (vu qu'on a que ces deux éléments dans le groupe).
si x*x=x en simplifiant par x les deux membres de cette égalité, on aurait x=e ce qui est absurde, donc x*x=e.
Supposons que x*x = x alors en composant par l'inverse (x*x)*x^(-1) = x*x^(-1) donne (x*x)*x^(-1) = e et par associativité x*(x*x^(-1))= e ie x*e = e soit x = e.
Donc on a forcément x*x = x puisque le cardinal est 2.
,
ah ok, merci monrow! j'avais omis ce petit détail sur la stabilité de la loi par passage à l'inverse
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