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théorie des groupes
Bonjour tout le monde, cet exercice me tracasse
Soit un groupe tel que pour ton
dans
,
ou
est le neutre de
a)Montrer que est commutatif(ok)
b)soit un sous-groupe de
distinct de
et a un élément de
n'appartenant pas à
Montrer que est un sous-groupe de
(probleme!) et que
si vous avez des idées,je suis preneur,parce que là,je seche!
re(Bonjour), robby3
Je réponds pour la question: la réunion de H et de aH est un sous-groupe de G.
Je suppose que là ou tu bloques, c'est par exemple pour démontrer que le produit d'un élément de H par un élément de aH est un élément de la réunion de H et de aH.
N'oublies pas que G est commutatif (première question) et donc que, avec des notations évidentes:
h (ah')= (ha) h'= (ah) h'= a (hh') appartient à aH
Re Perroquet, effectivement comme ça,c'est nature...
moi je voulais le faire(au début par gain de temps...
)
en montrant que
mais j'arrivais à qui est dans
mais pas dans
d'ou mon interrogation
merci à toi!
Il faut considérer 4 cas:
qui est dans aH
qui est dans H, comme tu l'as très bien vu
qui est dans aH
qui est dans H
aH n'est pas engendré par a ...
à h, tu associes le couple (h,0)
à ah, tu associes le couple (h,1)
Il n'est pas difficile de montrer que cette application est un isomorphisme de sur
aH n'est pas engendré par a ...
>oui, bien sur! j'ai dit n'importe quoi!
ah oué!
pas mal trouvé l'isomorphisme!
petite question,le noyau du morphisme définie par perroquet est-il nul(enfin égale à l'élément neutre...)?
je le vois pas!
Bonjour, Oui ce noyau est nul mais je comprends pas pourquoi on s'embete comme ça pour prouver ça...
G est un Z module annulé par 2 c'est donc un F_2 esp vectoriel. En particulier H sera lui aussi un F_2 espace vectoriel...
Bonjour,
mais je comprends pas pourquoi on s'embete comme ça pour prouver ça...
>pour ça:
G est un Z module annulé par 2 c'est donc un F_2 esp vectoriel.
un Z-module annulé par 2????
si tu as le temps, je veux bien que tu me montres d'abord pourquoi le noyau de l'isomorphisme est nul,notamment en fait dans le cas f(ah)...
et aprés,(s'il te reste du temps,je veux bien une explication un peu plus détaillée de ton argument de Z-module
)
Bonjour, un élément du noyau est envoyé sur (0,0)....C'est donc qu'il est dans H et comme à chaque lement de H est envoyé sur (h,0) cela signifie que h=0, donc le noyau est nul...
Un groupe abélien est toujours un Z-module...Maintenant de dire qu'il est annulé par 2 cela signifie que 2a=0 opour tout element a dans ton Z-module.
On definit donc un morphisme (injectif ) de Z/2=F_2 dans G qui en fait un F_2 module...mais F_2 est un corps c'est don un F_2 esp vectoriel...
Bonjour
L'élément neutre de est (e,0). Le seul élément qui a pour image cet élément neutre est e.
(les éléments de H ayant pour image (h,0))
(les éléments de aH ayant pour image (h,1))
Oui un module c'est comme un esp vect mais sur un anneau, du coup c'est un peu plus sauvage...
Comment j'ai vu ca directement? C'est une idée tres importante que quand tu as M, un A module annulé par I un idéal de A (c'est a dire que tout element de M verifie im=0 pour tout i dans I, ou de façon équivalente IM=0) alors on peut le voir comme un A/I module. C'est très important en algèbre... Ca doit devenir un réflexe...
salut Perroquet(ok pour le noyau,j'avais fais ça en plus,mais j'étais pas convaincu! )
Un groupe abélien est toujours un Z-module...Maintenant de dire qu'il est annulé par 2 cela signifie que 2a=0 opour tout element a dans ton Z-module.
>ok pour la Z-module,aprés quelques recherches,j'ai pigé ce que c'était.
mais je vois toujours pas le 2a=0??
Ben dans la première ligne de ton enoncé il y a marque x²=0...quand le groupe est abélien on note plutot 2x=0 que x²=0...cela dit c'est exactement la meme chose... J'insiste cependant sur le fait que le caractère abélien est indispensable... D'où la première question qui était indispensable!
y'a quand meme un dernier truc que je ne vois pas!
pourquoi si G est fini,G étant un Z/2Z espace vectoriel,l'ordre de G est une puissance de 2??
ça devrait etre trivial,mais je ne le vois pas!
G est fini, donc un F2 espace vectoriel de dimension finie, disons n. Donc G est isomorphe à F2^n. Donc ben voilà.
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