Niveau maths spé

trace d'une matrice

Posté par
qwerty321 05-03-09 à 17:58

Bonjour

je voudrais savoir comment pouvoir prouver que tr(AB)=tr(BA) ou A et B sont de matrices

merci

Posté par re : trace d'une matrice 05-03-09 à 18:04

Bonjour.

Une solution consiste à travailler directement sur les coefficients.

$3$\textrm (AB)_{i,j} = \Bigsum_{k=1}^n(A)_{i,k}(B)_{k,j}$

$3$\textrm Tr(AB) = \Bigsum_{i=1}^n(AB)_{i,i} = \Bigsum_{i=1}^n\Bigsum_{k=1}^n(A)_{i,k}(B)_{k,i}$

Tu utilises alors la commutativité.

Posté par re : trace d'une matrice 05-03-09 à 18:16

donc je dit que sigma{(A)i,k(B)k,i}=sigma{ (A)k,i (B)i,k}=sigma(AB)k,k?

Posté par re : trace d'une matrice 05-03-09 à 18:31

Posté par re : trace d'une matrice 05-03-09 à 18:46

$3$\textrm Tr(AB) = \Bigsum_{k=1}^n\Bigsum_{i=1}^n(B)_{k,i}(A)_{i,k} = \Bigsum_{k=1}^n(BA)_{k,k} = = Tr(BA)$

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