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trace et matrices
Bonjour,
Je suis bloqué à une question d'un TD que je dois préparer pour le semaine prochaine. Voici l'énoncé :
Pour une matrice A=(aij) 
Mn(K) dans K on définit la trace de A par :
tr(a)
(i=1
n) aii
1)Montrer que tr est une application linéaire de Mn(K) dans K, et que tr(AB)=tr(BA).
2)Montrer que si A et B sont deux matrices semblables alors tr(A)=tr(B)
3)Pour A, B Mn(K), déterminer toutes les matrices X Mn(K) telles que X + tr(X)A = B
4)Montrer qu'on ne peut pas trouver A, B Mn(K) telles que AB - BA = In
Donc j'ai réussi les deux premières questions mais je ne vois pas du tout comment faire la 3)
Merci de bien vouloir m'aider
Salut,
4) applique la trace et trouve une contradiction
3) si X est une solution, alors X=B-tr(X)A, donc il existe un réel k tel que X=B+kA.
Réciproquement, si k est un réel, posons X=B+kA. On a X+tr(X)A=B+kA+[tr(B)+ktr(A)]A=B+kA-kA=B
donc X est solution.
les solutions sont donc les matrices B+kA où k décrit R
Bonjour,
Visiblement, gui_tou s'est un peu emmélé les pinceaux sur la question 3. Il suffit de considérer le cas , auquel cas on a à résoudre
, pour s'apercevoir que ce qu'il dit ne va pas.
Il est bon effectivement de procéder par analyse-synthèse. On suppose qu'on a un vérifiant
. On applique la trace à cette égalité pour trouver quelle doit être la valeur de
(il faut discuter suivant les cas). Ensuite, l'égalité
permet de déterminer
.
Enfin, pour la synthèse, on vérifie que le trouvé est bien solution de l'équation.
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