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trace matrice symetrique

Posté par
yo69 28-04-09 à 23:09

Bonsoir.

Je suis bloqué dans une question de mon DM.
Je sollicite votre aide car je ne trouve pas comment prouver que tr(ABAB)=tr(A^{2}B^{2}) où (A,B)Mn() et A et B sont symetriques.J'ai essayé de manipuler les transposées sans succès.

J'espere que vous pourrez m'aider et vous remercie d'avance.

Posté par
jandri Correcteurre : trace matrice symetrique 29-04-09 à 11:15

Bonjour,

Tu ne peux pas démontrer ce résultat car il est faux en général.
Par exemple:
A=\(\matrix{0&1\cr 1&0}\) et B=\(\matrix{1&0\cr 0&0}\) donnent

AB=\(\matrix{0&0\cr 1&0}\) et ABAB=\(\matrix{0&0\cr 0&0}\) de trace nulle, alors que:

A^2=\(\matrix{1&0\cr 0&1}\) , B^2=\(\matrix{1&0\cr 0&0}\) et A^2B^2=\(\matrix{1&0\cr 0&0}\) de trace égale à 1.

Posté par
ahaninere : trace matrice symetrique 29-04-09 à 11:37

Bonjour yo69
Remarque: deux matrices symétriques commutent si et seulement si leur produit est symétrique
Je pense qu'il faut ajouter que le produit de A et B est symétrique dans l'énonce


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