Rectification, parce que ça ne veut pas dire grand chose ma citation.

Un petit up.

Personne?

Une piste
dans le livre théorie de Galois de J.P.Escofier il parle dde la methode de Tschirnhaus page 35
cela permet a priori de simplifier la resolution des equations jusqu'au degre4 contrairement aux espoirs de Tschirnhaus 1683 qui croyait pouvoir tout resoudre par cette transformation
l'exercice traité donne en détail ce qui se passe pour le degré 3
va voir ds une bibliothèque

Bonjour apaugam

Merci de t'intéresser à mon problème. J'ai compris ce qu'était une transformation de Tschirnhaus et dans tout ce que j'ai vu sur le net jusqu'à maintenant on montre que ça permet en effet de s'en sortir dans les cas de du degré 4.
Mais mon problème est ailleurs. Comme je l'ai lu ici: on l'utilise aussi pour changer d'élément primitif quand notre corps est défini par un quotient en changeant le polynôme. Bon déjà, ça répond en partie à ma question. Ce que je ne comprends pas c'est:
1) Comment montrer qu'il existe une transformation de Tschirnhaus (ou un nombre fini) qui permet de passer de ma résolvante à une autre sans changer de groupe de Galois de f?
2) Comment en exhiber une?

Je me doute qu'en répondant à la 1) on répondra à la 2) puisque je pense qu'on aura une preuve constructive. Le fait est que je vois pas vraiment comment la prendre c'te transformation...

Salut !

ba les transformation de Tschirnhaus rationelle suffisement géneral ca préserve toujour le groupe de galois, vu que ca préserve l'extension de corps associé ^^

Mais R(f,F) ca désigne quoi précisement ? un résultant par rapport à l'une des variables ?

le principe est de changer d'inconnu Y=Q(X) avec deg(Q)=n-1
pour transformer une equation P de degré n en X en equation
le corps de décomposition des deux polynomes etant le meme (a verifier, je n'en suis pas sure) cela ne doit pas changer le groupe de galois

on calcule
Rés(P,Q-y) polynome de degré n en y et on cherche à choisir les coeff de Q pour avoir un polynome en y de la forme y^n=x^n (pour n=3)
pour n=4 on arrive a une equation de degré 6 qui se decompose en 2 de degré 3
Voir J.P.E
je ne connait pas bien

Salut

"ba les transformation de Tschirnhaus rationelle suffisement géneral ca préserve toujour le groupe de galois, vu que ca préserve l'extension de corps associé" >> Evidemment... Mais en quoi ça rend la résolvante à racines simples? Yen a toujours une plus adaptée que les autres?

"Mais R(f,F) ca désigne quoi précisement ?" >> Il le définit comme ça: On prend F dans Z[X₁,...,X_n] et f dans Z[X] (unitaire irréductible, tout ce que tu veux). On note a_1,...,a_m ses racines. On fait alors agir Sn (le groupe des permutations) sur F (sur les indéterminées). Alors, si on note g le stabilisateur:
.

Ayoub, qui vient de remarquer que R(F,f) était un polynôme à une seule indéterminée et donc qu'en fait tout ceci est assez intuitif...

On fait alors agir Sn (le groupe des permutations) sur F (sur les indéterminées). Alors, si on note g le stabilisateur:

le stabilisateur de quoi ?
y-a-t-il un rapport avec les racines de l'equation f ds un corps de decomposition
ce n'est pas tres clair

De l'action de S_n sur f... S__n agit sur F par . Dans le produit définissant R(F,f) on prend un représentant pour chaque classe si on veut.

cela parait un truc de degré énorme si on fait le produit sur ts les polynomes symetriques distincts !
ce serait pas plutot les polynomes symetriques elementaires ?

redonne un morceau de texte plus complet

J'ai jamais parlé de polynôme symétriques... je ne te suis plus là.

Et oui, le degré est énorme, mais c'est parce que ça a un lien assez étroit avec le calcul déterministe de Gal(f) et qu'on peut difficilement espérer faire mieux qu'un truc en O(n!) en déterministe.

par contre pour eliminer les racines multiples on commence tout simplement par remplacer f par
f divisé par pgcd de f et f' >> En faisant ça tu élimines les racines multiples de f seulement non? Mais il est pris irréductible ici parce que, comme tu le fais remarquer, on peut s'y ramener facilement. Lui ce qu'il veut c'est éliminer les zéros d'ordre multiple de R(F,f) pour que l'action de Gal(f) sur ce dernier soit équivalente à celui de Gal(f) sur {F_1,...,F_k} (où l'on a pris un représentant de chaque classe pour l'action de Sn sur F).
C'est donc sur les zéros de f (et donc sur f lui même) qu'il faut faire un changement et c'est pas évident a priori qu'il en existe un convenable.

Là je ne connais pas
des noms tirés du livre de J.P.E qui pourrait t'aider pour rechercher une biblio complementaire
Belyl, Llorente, Matzat (un ouvrage : Konstruktiv galois theorie), Thomson, Serre ( un ouvrage : topics in galois theory), Annick Valibouze (des articles)

De quoi s'occuper donc...

"faire mieux qu'un truc en O(n!) en déterministe" >>> je pense qu'il serait plus pertinent de regarder la compléxité en fonction de la taille du groupe de galois.
par exemple si on prend en entré des polynomes minimaux d'extension Galoisienne, ca serait bien que l'algoritme soit polynomial en n...  et pas en n!


mais sinon oui... si tu cherche tous les f telle que R(f,F) ai un zéros double c'est décrit par un nombre finit d'equation algébrique à coeficient non nul... donc si on prend un element primitif "géneral" il sera pas dedans... apres pour le prouver rigoureusement, ca va etre galère :p (je pense qu'il faut ecrire explicitement les equations et montrer que si tous les rationelle sont solution alors les coeficient d'une des equation sont forcement nul...)

(je pense qu'il faut ecrire explicitement les equations et montrer que si tous les rationelle sont solution alors les coeficient d'une des equation sont forcement nul...) >> C'est ce que j'ai fait pour m'en convaincre en fait:

On procède par l'absurde. Je note K la clôture galoisienne de Q par les racines (complexes) de f.
On identifie les F_i (1<i<s) à des polynômes de K[X₁,...,X_n].
Pour 1<i<j<s je note G_i,j=F_i-F_j et je considère le produit P de tous ces zigotos.
Comme l'ensemble des éléments primtifs de K/Q est dense dans K (complémentaire d'une union finie de sev), P est nulle sur un dense et donc nul partout.
Ben ça c'est pas possible puisqu'aucun des facteurs n'est nul (par définition des F_i).

Je pense qu'on peut même prouver que l'ensemble des n-uplets qui vont convenir est dense dans K^n avec des outils élémentaires de géométrie algébrique. Je vais voir ce que ça donne avec Zariski (le seul truc que je connais ).

Oubliez mes deux derniers posts, je racontais n'importe quoi, ya un bug dans la démo.

Bon allez, un truc qui tiens la route cette fois-ci:

Lemme: Soit k et K deux corps et (f₁,...,f_n) n morphismes linéairement indépendants de k dans K. Alors il existe x₁,...,x_n dans k tel que det(f_i(x_j)) soit non nul.

Preuve (à la Pépin): Oui! C'est vrai parce que sinon ça marcherait pas! Plsu sérieusement, par récurrence, ça marche tout seul.

On revient au problème initial:

On procède par l'absurde. Je note K la clôture galoisienne de Q par les racines (complexes) de f.
On identifie les F_i (1<i<s) à des polynômes de K[X₁,...,X_n].
Pour 1<i<j<s je note G_i,j=F_i-F_j et je considère le produit P de tous ces zigotos.
Soit (a_₁,...,a__n)€Qⁿ.
On applique le lemme à Q et K et les f__i sont les éléments de Gal(f). On en sort qu'il existe n éléments de k tel que pour i dans [1,n].
Or on remarque que les sont des rationnels! (On revient à leur espression donnée par Cramer, on remarque que leurs images par les sont toutes les mêmes et on applique le lemme d'Abel).
Posons donc . On a .
Comme l'ensemble des éléments primtifs de K/Q est dense dans K (complémentaire d'une union finie de sev strict), il existe une suite d'éléments primtifs (p_n) qui converge vers B. C'est pas très compliqué de voir de voir que tend vers a_i. (Tiens c'est marrant, j'avais jamais remarqué que sur des extensions réelles de Q ils étaient discontinus en tout point... )
Mais P est nul sur tous les éléments de la forme où p est primitif, donc par continuité de P: P(a₁,...,a_n)=0. Et P s'annule que Qⁿ.
Donc P est nul vu que c'est un polynôme de Q[X₁,...,X_n].
Ben ça c'est pas possible puisqu'aucun des facteurs n'est nul (par définition des F_i).

Pfiou, c'est fini!

Par contre, j'arrive plus vraiment à voir pourquoi il y a beaucoup d'éléments qui vont convenir... Je suis plus vraiment sûr qu'il y a densité. Notamment, si on est loin des rationnels (extension complexe par exemple) je vois plus vraiment pourquoi il y en aurait partout. Si t'as une idée (un truc heuristique, pas besoin de démo) je suis prenant.

quelques remarques



1) un pas tres important :  on ne dit pas "cloture galoisienne de Q par les racines de f". la cloture galoisienne de Q... c'est Q. on parle du corps de décomposition de f, ou de l'extension de Q engendré par les racines complexes de f. (la différence entre les deux, c'est que dans le premier cas on voit le corps abstraitement, dans le second, on le voit comme plongé dans C... mais la différence n'est pas du tous important pour ce que tu fais ^^ )


2)
Ba l'ensemble des point qui conviennent pas c'est les zéros de G non ? donc le complaimentaire est un ouvert de Zariski... et il se trouve que dans le cadre ou tu te place les ouvert de Zariski non vide sont tous Zariski dense...
Mais si tu veux un argument simple, si G est identiquement nul sur K^n, alors il est identiquement nul sur son adérence (dans C) soit C^n soit R^n, et donc... il est nul.

essai plutot de prouver le lemme suivant (récurence sur n) : si P un polynome de K[x1,...xn] est nul sur tous les point de K^n et que K est un corps infini, alors P est le polynome nul.


3) j'ai vaguement l'impression que tu as prouvé que si a1...an sont n rationelles quelconque, alors il existe B telle que a1...an soit exactement les images de B par les elements du groupe de galois... normalement ca devrait te choquer :p

Oui en effet, faut encore grossire un peu G en fait... "etre primitif" ca va aussi etre une condition type "un certain polynome en le coeficient dans une Q base" est non nul. tu appelle Q ce polynome et tu considère GQ.

Euh je patauge un peu... ça fait un bon jour que j'avance plus...

Ce que je voulais faire c'est faire une sorte de projection sur parrallèlement à chaque sous corps stricts de K, ce qui donnerait une CNS de primitivité: n'être dans aucun des noyaux. Mais le problème c'est que j'ai besoin de bien plus de n variables pour écrire tout ça: j'en ai besoin de [K:Q] qui généralement bien supérieur à n. Par contre ce sont bien de fonctions polynômiales en plusieurs variables, on prend un projection pour chaque sous-corps et on fait le produit.

Le 2ème problème (à supposer donc qu'on s'en sorte du premier) c'est que j'ai pas vraiment vu l'interêt de ce que je faisais: On aurait un polynôme qui s'annulerait sur tout ce qui n'est pas primitif + les n-uplets constitués d'un primitif et de ses conjugués. On a quasiment rien enlevé de plus, seulement un fermé d'intérieur vide. :S

Bref, tu l'auras compris, je fais du sur-place.

Pour le premier problème :

tu fixe une Q base (a1...an) de K, et tu ecrit non pas une equation polynomial en x, mais en les coeficient de x dans cette Q base.

etre primitif ca ce caractérise par exemple par : le produit pour i différent de j des (sigma_i(x)-sigma_j(x) ) est non nul. (sigma_i,j parcourant le groupe de galois de K/Q)

les sigma_i etant Q linaire, on obtiens bien un polynome en les coeficient de x.

le 2e problème... je comprend pas trop ce que ti dit en fait :S

en gros le polynome (en les coefs de x) qui doit pas etre nul c'est qqch du genre :


produit pour i différent de j des (sigma_i(x)-sigma_j(x) ) * produit pour sigma dans Sn/g de sigma(F)(sigma_1(x),...sigma_n(x))

tous ceci est un enorme polynome en n-variable sur Q, et comme il est non nul (Q[X] est intégre ^^ ) il est non nul pour au moins un n-uplet de rationel !

Ah oui, bien vu! J'étais très loin, très très loin. J'avais pas du tout pensé à utiliser les sigma_i comme ça...
Merci!

euh... le deuxieme terme de mon produit est completement faux :p

faut faire le produit avec un double indice sigma,sigma' dans Sn/g avec sigma différent de sigma'...

Pour moi t'avais écris G à droite donc j'avais pas porté attention au deuxième terme mais maintenant que tu le dis...

Juste pour vérifier: on a bien plus que l'unicité là non? Vu que tous les ouverts de Zariski sont denses, en prenant un primitif au pif et ses conjugués on a de fortes chances de tomber sur un n-uplet gagnant, juste?

oui en gros

Disons qu'algorimiquement, c'est peut-etre une bonne méthode de tirer des elements au hasard jusqu'à en avoir un qui fonctionne.... sauf pour l'evaluation de la compléxité dans le pire des cas

Disons qu'algorimiquement, c'est peut-etre une bonne méthode de tirer des elements au hasard jusqu'à en avoir un qui fonctionne >> Tu prédis mes questions? On peut être vraiment malchanceux et au final l'algo va tourner à l'infini. On peut pas trouver une méthode qui en un nombre fini d'étapes (quoique très nombreuse) on arrive à coup sûr sur un qui convient? L'énoncé suggère que "oui", il parle d'"apropriate Tschirnhaus transformation" mais ta démo ne dit pas vraiment la trouver...