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transposée de matrice: dual

Posté par
karim 09-05-08 à 20:48

Bonsoir,
je suis tombé sur un exercice sur les espaces duaux, et je ne comprend pas les opérations qu'on effectue.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
E* son espace dual.
L une matrice de E.
Phi une forme linéaire sur E.
Pourquoi est ce que : tL(Phi)=Phi(L) (tL est la transposée de L)
ensuite si j'ai  : Phi(L^k) = 0, pourquoi est ce qu'en Composant par L^(n-k) (n>k) on a Phi(L^n) = 0?
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
karimre : transposée de matrice: dual 09-05-08 à 20:50

en fait matriciellement je ne vois vraiment pas pourquoi cette définition de tL?

Posté par
romure : transposée de matrice: dual 09-05-08 à 21:51

Bonsoir,

Citation :
Pourquoi est ce que : tL(Phi)=Phi(L) (tL est la transposée de L)


C'est la définition de la transposée d'une application linéaire.

Citation :
si j'ai  : Phi(L^k) = 0, pourquoi est ce qu'en Composant par L^(n-k) (n>k) on a Phi(L^n) = 0?


\varphi(L^k) = 0_{E*} signifie que pour tout x\in E, \varphi(L^k(x)) = 0.

Donc pour tout x\in E,

3$\varphi(L^n(x)) = \varphi\((L^{n-k}\circ L^k)(x)\) = \varphi\(L^{n-k}(L^k(x))\) = \varphi\(L^{n-k}(0_E)\) = \varphi\(0_E\) = 0.

Ceci étant vrai pour tout x\in E, on a bien \varphi(L^n) = 0_{E*}.

Posté par
karimre : transposée de matrice: dual 10-05-08 à 07:40

ok merci romu.
Quel rapport matriciel y a t-il entre tL(phi) =Phi(L) ie comment le lire matriciellement ?

Posté par
romure : transposée de matrice: dual 10-05-08 à 11:54

Cette définition permet d'avoir matriciellement pour une application linéaire u:E\rightarrow F, où E et F sont de dimension finie, de bases respectives (e_1,...,e_m) et (f_1,...,f_n), de bases duales respectives (e_1*,...,e_m*) et (f_1*,...,f_n*):

3$\fbox{M(^tu)=\ ^t(M(u))}.

Et les propriétés relatives à la transposée d'une application linéaire se transportent aisément  en propriétés relatives à la transposée d'une matrice.


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