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travail sur les sommes.

Posté par
James bond 10-10-09 à 14:34

bonjour, je suis en train de faire quelques exercices supplémentaires sur la manipulation des sommes, et un exercice me pose problème:

Soit n un naturel non nul.
soit p un naturel.


S(p) désigne la somme de i=0 à n de i^(p)


1) donner les valeures de S(0), S(1), S(2), et S(3) en fonction de n.
(  ca, j'ai réussi)

2) En utilisant la formule du Binôme de Newton montrer que:


somme de i=0 à n de (i+1)^(p+1)
vaut:
somme de k=0 à p de ( k parmis p+1)S(k)+S(k+1)

honnétement, je ne vois pas comment faire.
merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:23

Bonjour,

Citation :
vaut:
somme de k=0 à p de ( k parmis p+1)S(k)+S(k+1)


Cela se lit-il comme ceci:

\sum_{k=0}^{p}\left[\left(p+1\\k\right)S_k+S_{k+1}\right] ?

Ca me semble bizarre...

En tout état de cause, tu as une double somme et il faut intervertir les sommes.


Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:39

c'est juste ce que tu as écris Cailloux, mis à part qu'il n'y a pas de crochets.
mon sigma intervient il aussi sur S(k+1)?

quoi qu'il en soit, je suis bloqué.

Posté par
yoyodadare : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:48

Bonjour,

j'aurai quelque chose comme cela:


\sum_{i=0}^n (i+1)^{p+1}=\sum_{i=0}^n(\sum_{k=0}^{p+1}C_{p+1}^k.i^k)=\sum_{k=0}^{p+1}(\sum_{i=0}^n C_{p+1}^k.i^k)=\sum_{k=0}^{p+1}C_{p+1}^k(\sum_{i=0}^n i^k)=\sum_{k=0}^{p+1}C_{p+1}^k.S(k)=[\sum_{k=0}^p C_{p+1}^k S(k)]+C_{p+1}^{p+1}S(p)=[\sum_{k=0}^p C_{p+1}^k S(k)]+S(p)

Je n'ai pas trop cherché mais je n'ai pas l'impression qu'on retombe sur l'expression voulue...

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:53

Citation :
mon sigma intervient il aussi sur S(k+1)?


Obligatoirement puisqu' il y a des "k".

Je vois la chose comme ceci:

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{p+1}\left(p+1\\k\right)i^k

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\sum_{i=0}^{n}\left(p+1\\k\right)i^k

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\left(p+1\\k\right)\sum_{i=0}^{n}i^k

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\left(p+1\\k\right)S_k

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=S_{p+1}+\sum_{k=0}^{p}\left(p+1\\k\right)S_k

Mais ce n' est pas ce que tu as ???

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:54

on doit obtenir à la fin un S(p+1), tu obtiens S(p) toi.

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:54

Bonjour yoyodada

On a l' air d' accord!

Posté par
yoyodadare : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:55

Bonjour cailloux,


je suis d'accord avec toi (si ce n'est un S(p) malencontreux, au lieu de S(p+1) comme il devrait être ,dans mes deux dernières égalités)

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:56

c'est exactement cà.
sauf que j'avais du mal é l'écrire avec la Latex.
c'est tout à fait juste.

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:57

Alors tout va bien

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 15:58

on me demande maintenant de montrer que:

(p+1)S(p)=(n+1)^(p+1)- (somme de k=0 à p-1 de S(k))

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:09

Tu as encore oublié un terme:

3$(p+1)S_p=(n+1)^{p+1}-\sum_{k=0}^{p-1}\left(p+1\\k\right)S_k non ?

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:12

c'est tout à fait ca.

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:23

verrais tu comment le démontrer?

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:27

On repart de la relation précédente:

3$\sum_{i=0}^{n}(i+1)^{p+1}=S_{p+1}+\sum_{k=0}^{p}\left(p+1\\k\right)S_k

3$(n+1)^{p+1}+\sum_{i=0}^{n}i^{p+1} =S_{p+1}+(p+1)S_{p}+\sum_{k=0}^{p-1}\left(p+1\\k\right)S_k

3$(n+1)^{p+1}+S_{p+1}=S_{p+1}+(p+1)S_p+\sum_{k=0}^{p-1}\left(p+1\\k\right)S_k

3$(p+1)S_p=(n+1)^{p+1} -\sum_{k=0}^{p-1}\left(p+1\\k\right)S_k

Posté par
yoyodadare : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:27

Il suffit d'appliquer le précédent résultat, en considérant S(p+1)=\sum_{i=0}^n i^{p+1}

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:29

en effet.
maintenant, on peut tout à fait retrouver les résultats donnés dans la question1...

merci beaucoup à Cailloux et yoyodada pour votre aide précieuse.

Posté par
cailloux Correcteurre : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:30

Mais de rien pour moi James bond

Posté par
yoyodadare : travail sur les sommes. 10-10-09 à 16:34

Ce fut un plaisir

Posté par
dediegopour anthony ***** 16-10-09 à 22:38

quand je donne un DM, celui doit etre fait tout seul, merci de ne pas demander a quelqu'un de le faire a votre place.Vous viendrez me voir a la fin du cours mardi.

*** message déplacé ***

Posté par
dediegopour anthony ***** 16-10-09 à 22:38

quand je donne un DM, celui doit etre fait tout seul, merci de ne pas demander a quelqu'un de le faire a votre place.Vous viendrez me voir a la fin du cours mardi.

Posté par
sclormure : pour anthony ***** 16-10-09 à 22:46

Je me laisserais bien tenter par un petit "lol".

Posté par
sclormure : pour anthony ***** 16-10-09 à 22:53

Ceci dit il n'y as pas de mal à se faire aider. C'est ce qu'on fait aussi quand on cherche à plusieurs.
Ce qui me révolte un peu ce sont les gens qui au lieu d'aider les élèves leur résolvent entièrement les exercices. Cela n'a aucun intérêt.

Posté par
James bondre : travail sur les sommes. 20-10-09 à 21:46

humour révélateur d'un manque d'intelligence social.


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