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Tribu / Algèbre de Boole
Soit un ensemble et
un sous-ensemble de
différent à la fois de
et de l'ensemble vide.
(i) Décrire la plus petite tribu sur qui, parmi ses éléments, contienne
.
(ii) Décrire la plus petite algèbre de Boole sur qui, parmi ses éléments, contienne
.
Alors pour le (i) j'ai dit que cette tribu, notons la , doit contenir et
et
.
Ensuite, on veut quelle contienne et donc aussi son complémentaire
.
J'essaye avec .
Il faut vérifier que c'est bien une tribu :
- il y a bien
- si alors
aussi ;
En effet,
si alors
si alors
si alors
si alors
- La je ne vois pas ce qu'il faut faire exactement avec la stabilité par union dénombrable.
Je regarde si ?
Ensuite pour le (ii), je trouve cette question bizarre. En effet, je me suis dit que si est une tribu alors
est une algèbre de Boole. En effet, je pense que la stabilité par union dénombrable entraîne la stabilité par uninon finie, car un ensemble finie est un ensemble dénombrable ?
Salut H,
pour la stabilité par union dénombrable de :
Soit une famille dénombrable d'éléments de
,
1)si l'un des est égal à
alors l'union est
aussi.
2) Si tous les sont différents de E, alors
i) si l'un des est
est un autre est
alors l'union est aussi
,
ii) si il nous manque dans cette famille ou
, disons
pour se fixer les idées, alors les
sont soit
, soit
, et donc l'union est facile à déterminer;
iii) si on a ni ni
, ni
, alors
.
Dans tous les cas c'est un élément de .
La stabilité par union dénombrable entraîne la stabilité par union finie:
si on se donne une famille finie on peut la compléter en une union dénombrable en posant pour tout
,
.
Une tribu est donc bien une algèbre de Boole.
Bonjour romu,
Ok pour le fait que soit une tribu.
Pour l'implication de fin, je me suis posé la question suivante. Si on pose , a-t-on que
est dénombrable ?
J'ai vu alors dans un bouquin la chose suivante :
Un ensemble est infini dénombrable si et seulement si il est infini et dénombrable par le théorème de Bernstein.
Déjà, je bloque sur cette démonstration.
Voici le dit théorème : S'il existe une injection (resp. surjection) de dans
et une injection (resp. surjection) de
dans
alors
et
sont équipotent.
De ceci, il faudrait déduire la proposition suivante :
Un ensemble est dénombrable si et seulement si il est fini ou infini dénombrable.
Encore une fois, blocage.
Pour rappel, ma définition d'un ensemble fini se traduit par le fait que
.
Dès lors on pourrait immédiatement conclure que est bien dénombrable !
Enfin, dans l'énoncé initial, on demande de décrire la plus petite algèbre de Boole contenant . Nous avons une tribu
qui fonctionne, donc une algèbre de Boole qui fonctionne. Pourquoi est-ce la plus petite ?
tu fais quoi au fait l'année prochaine?
Je refait la troisième année de ma licence, en vue d'une préparation en entrée de master, ingénierie économique.
c'est quoi que tu as comme définition pour dénombrable? Pour moi un ensemble dénombrable est un ensemble équipotent à ,
on dit à ce moment-là qu'une partie qui est finie ou dénombrable (ie qu'on peut injecter dans ) est au plus dénombrable.
"Dénombrable" peut aussi désigner les ensembles qu'on peut injecter dans (c'est alors une autre définition plus faible), d'ailleurs tout est dit dans l'article de wiki
.
De ceci, il faudrait déduire la proposition suivante :
Un ensemble est dénombrable si et seulement si il est fini ou infini dénombrable.
ça coïncide par définition à la seconde définition que j'ai donné, et n'est pas du tout en accord avec la première. Tu as une troisième définition de "dénombrable"?
Sinon pour le fait que
toute algèbre qui contient
et comme elle est aussi stable par union finie, elle doit contenir
Comme
Et l'année prochaine tu refais le même parcours que cette année, ou un autre parcours plus ciblé en vue de rentrer dans ce master ingénieurie éco?
Bonjour romu,
c'est quoi que tu as comme définition pour dénombrable?
J'ai "deux cas" :
- un ensemble
- un ensemble
Dans la preuve de :
Un ensemble est infini dénombrable si et seulement si il est infini et dénombrable par le théorème de Bernstein.
je ne vois pas ou intervient Bernstein.
(
On se donne
On a donc
On a aussi
D'ou
(
On se donne
On a donc
Pour la preuve de :
Un ensemble est dénombrable si et seulement si il est fini ou infini dénombrable.
(
Soit
Soit
(
Ici je bloque.
On se donne
Est-ce bien cela ?
Quand on dit qu'un ensemble est dénombrable, il y a bien les "deux cas" ?
Et l'année prochaine tu refais le même parcours que cette année, ou un autre parcours plus ciblé en vue de rentrer dans ce master ingénieurie éco?
Je peux. Mais si cela se fait, c'est uniquement au semestre 6.
En fait, c'est à moi de fournir l'effort nécessaire pour une bonne réussite dans ce master : récupération des cours, stages, etc.
Cantor-Bernstein doit intervenir pour montrer l'antysymétrie de (que tu utilises dans (
) ).
Pour la dernière implication () où tu bloques:
Quand on dit qu'un ensemble est dénombrable, il y a bien les "deux cas" ?
Oui, une bijection est en particulier une injection.
Soit
Reste à montrer qu'une partie
Quelques petits rappels: Toute partie non vide de
Soit
1) Vérifie qu'on peut définir une application
2) Montre que
3) Soit
Montres que
et déduis-en que
Ok pour l'antisymétrie.
Je ne comprend pas ta démarche à la fin.
Avec un ensemble dénombrable, on convient que soit
est dénombrable i.e. s'injecte dans
, soit
est infini dénombrable i.e. équipotent à
?
Cela m'échappe encore !
On donne une définition pour "dénombrable" avec l'injection et une autre pour "infini dénombrable" avec la bijection.
Tu sembles raisonner avec une seule définition, la bijection, pour prendre en compte les deux cas.
Je n'arrive pas à bien comprendre ce point.
Lorsqu'on dit "soit un ensemble dénombrable..." , que faut-il comprendre exactement ?
Que cet ensemble s'injecte dans ou que cet ensemble peut s'injecter dans
tout comme être en bijection avec
??
Bonjour.
Je me permet de répondre à ta question.
Il me semble que l'on dit qu'un ensemble est dénombrable s'il existe une bijection entre cet ensemble et .
S'il existe une injection de cet ensemble vers , on dit qu'il est au plus dénombrable.
Une citation de Wikipédia :
Sont parfois également qualifiés de dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. Cependant, il est courant de réserver l'adjectif « dénombrable », tout comme sa négation, aux seuls ensembles infinis.
Bon j'espère avoir bien compris !
On se donne un ensemble.
Soit cet ensemble s'injecte dans et il est dit au plus dénombrable.
Soit cet ensemble est en bijection avec et est dit dénombrable.
Sinon, il est dit non dénombrable.
On remarque qu'un ensemble dénombrable et aussi au plus dénombrable !
Je crois que c'est cette derrière remarque qui m'a perturbé !
Est-ce bien cela ?
Du coup, pour la preuve de :
Un ensemble est dénombrable
Je me suis dit :
Soit cet ensemble est fini et c'est fini.
Soit cet ensemble est infini, comme il est dénombrable, cet ensemble est infini et dénombrable donc infini dénombrable.
Cela se tient-il ?
Ou dois-je passer par la méthode de romu ?
Ta définition de "dénombrable" H, correspond à la définition de "au plus dénombrable" de wiki.
Et avec tes définitions, ça parait clair qu'un ensemble infini dénombrable est un ensemble dénombrable.
On donne une définition pour "dénombrable" avec l'injection et une autre pour "infini dénombrable" avec la bijection.
Tu sembles raisonner avec une seule définition, la bijection, pour prendre en compte les deux cas.
Avec ta définition, dire que
C'est pour ça que je parle en termes de bijection, mais je raisonne bien avec l'injection pour pouvoir couvrir les deux cas.
Cela se tient-il ?
Ou dois-je passer par la méthode de romu ?
oui ça se tient, j'avais zappé qu'on disposait du résultat:
Un ensemble est infini dénombrable si et seulement si il est infini et dénombrable par le théorème de Bernstein.
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