Bonjour,

A priori c'est bon. Peux-tu tout de même nous donner les deux vecteurs propres ?

Bonsoir.

Oui, j'ai refait les calculs en entier.

Tu as pris pour nouvelle base :

e₁ : (1,1,0)

e₂ : (0,0,1)

e₃ : (1,0,1)

alors je trouve

V1=(1,1,0) pour la valeur propre 1
V2=(1,0,1) pour la valeur propre 2

en fait la matrice triangularisée n'est pas unique si je comprends bien ça depend des vecteurs qu"on a choisi pour  compléter notre base ?

non monntroisieme vecteur j'ai pris V3=(1,0,0)

et je trouve comme matrice triangulaire

1 0 -1
0 2  1=T
0 0  1

Tout dépend de la forme que l'on veut obtenir.

Supposons que l'on ait :

un vecteur propre u associé à la valeur propre 1

un vecteur propre w associé à la valeur propre 2

On cherche un vecteur v tel que sur la base (u,v,w), la matrice de l'endomorphisme f soit :



u et w remplissent bien leurs rôles.

Pour trouver v, on exprime ce qui est inscrit dans la seconde colonne :

f(v) = u + v

En posant v(x,y,z) il suffit de résoudre sous forme de système l'équation f(v) = u + v.

Remarquons que cette équation s'écrit aussi :

(f - Id)(v) = u

Effectivement, la forme triangulaire n'est pas unique, il y a même une infinité de façons de compléter une famille libre en une base, donc une infinité de formes triangulaires... Quelle angoisse !

Bonsoir LeHibou.

Heureusement que la réduction de Jordan vient mettre un peu d'ordre dans tout cela.

La dernière forme que j'ai donnée est celle de Jordan.

Bonsoir raymond

J'avais admiré cette forme de Jordan qui ne disait pas son nom...

J'ai fait une fiche sur la réduction de Jordan en passant par la dualité, avec l'espoir de rendre les démonstrations moins difficiles.

C'est toujours aussi imbuvable, dès que dim(E) dépasse 3.

ok je vous remercie de vos explications je vais essayer de le faire par la dualité

Je regarderai la fiche après dîner, ça me fera ma soirée

Pedro : surtout pas ! tu vas te décourager.

Utilise ma méthode du topic : à 18:39

Très bonne fiche raymond

Merci.

oula c vrement chaud le dual je comprends que dal  je veux bien me contenter de cette methode mais si j'ai un polynome caracteristique du genre
P(X)=(X-1)^3 j'arrive pas,comment faire ?

bonjour  est ce que c'est possible de trouver un vecteur propre qui soit nul?

par exemple la matrice suivante a pour valeur propre 0 et 2

1 0 1
1 2 3
1 0 1

lorsque je fais (A-2I)(x,y,z)=0 j'ai

-1 0  1
1 0  3 ce qui  x=y=z=0 soit un vecteur propre nul
1 0 -1

Dans le système permettant de chercher E₂ = Ker(A-2I), l'inconnue y ne figure pas

Donc, y est quelconque mais surtout pas 0, car un vecteur propre est non nul.

Tu peux prendre (0,1,0)