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Trouver PGCD
Bonsoir,
Cela fait plusieurs fois que je pose ma division euclidienne mais je n'arrive pas à aboutir au PGCD.
J'ai deux questions.
La première, c'est trouver le PGCD de :
--> X4+3X+2 et de X3+X2+X+2
Je n'arrive pas à comprendre où est mon erreur, mon dernier reste non nul
est -4; et 4 n'est pas racine donc ...
X4+3X+2 = (X3+X2+X+2)*(X-1)+2(X+2)
X3+X2+X+2 = (X+2)(X2-X+3)-4
X+2=4((X/4)+(1/2))
??? Où est l'erreur ?
--> Dans la question qui suit on me demande de trouver le PGCD de :
X2n+3X+2 et de X3+X2+X+1
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre avec les n pour trouver le PGCD.
Pourriez-vous me guider ?
Merci d'avance.
David
Bonsoir
mes souvenirs dans ce domaine commencent à dater, mais ce n'est pas sur le degré des restes que ça se pase ?
Non, il n'y a pas d'erreur en ce qui concerne les polynômes dont on doit trouver le pgcd.
Sinon, dans mon calcul c'est possible mais j'aurais fait trois la même erreur si c'est le cas.
Le degré du reste est inférieur strictement au degré du diviseur.
Normalement on fait basculer le reste dans l'espace du diviseur, qui lui est basculé dans l'espace du dividende. On effectue les divisions successives jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est censé être le PGCD.
Quand il y a les puissances n je ne sais pas comment les contourner.
Mais tu n'es pas supposer normaliser les polynômes avant chaque division ?
du coup, la dernière est X+2 = 1(X+2) + 0, le dernier reste non nul est 1, tes polynômes sont premiers entre eux ...
ça serait bien que Raymond passe par là pour vérifier si je ne te raconte pas de bétises
normaliser : garder comme coeff de plus grand degré : 1
pour la deuxième question, dommage, il y aurait peut-être eu moyen de faire une récurrence, le cas n=1 étant donné par la première question ....
si pourquoi ? pour les divisions euclidiennes de polynôme, c'est le degré du reste qui est entre 0 (compris) et le degré du diviseur (exclus)
j'ai demandé à perroquet s'il peut venir, il est plus au point que moi sur ces trucs que je n'ai guère eu l'occasion de mettre en pratique depuis des lustres
Bonsoir.
Je suis flatté d'être appelé comme expert 
Mais il faudra attendre un peu parce que je vais être occupé dans la demi-heure qui suit ...
En ce qui concerne la première question:
Il n'y a pas d'erreur.
Le PGCD est égal au dernier reste normalisé
lafol avait raison: il était possible de "normaliser" chaque reste avant d'effectuer la division (ce qui rend souvent le calcul plus facile). Mais ce n'est pas obligatoire. Par contre, il faut obligatoirement "normaliser" le dernier reste, parce que le PGCD est un polynôme unitaire.
En ce qui concerne la deuxième question:
Il est possible de faire une division euclidienne, mais il y a une idée plus rapide.
En fait, on fait une décomposition en facteurs premiers du deuxième polynôme.
X+1 divise parce que -1 est racine de A
X+i ne divise pas A parce que -i n'est pas racine de A
X-i ne divise pas A parce que i n'est pas racine de A
Donc, le PGCD de et
est égal à X+1
en gros, on n'est pas à une constante (non nulle) multiplicative près
pour les pgcd, pour qu'il y ait unicité, on convient de ne choisir que des polynômes dont le coeff de plus haut degré est 1 : ça s'appelle normalisé
un polynôme de degré 0 : une constante non nulle
normalisé : cette constante est 1
)
En fait, on fait une décomposition en facteurs premiers du deuxième polynôme.
On la trouve d'autant plus facilement si en voyant
Mais la factorisation est de maniere generale "impraticable"
La meilleure methode en general est bien l'algorithme d'Euclide qui donne en prime l'identité de Bezout.
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