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Trouver tous les polynômes tels que...

Posté par
ChazyChaz 25-01-09 à 15:08

Bonjour à tous.
Je coince sur l'exercice ci-dessous

Trouver tous les polynômes \large P \in \mathbb{K}[X] tels que \large (X^2+1)P''\large -6P =0

J'ai essayé avec le truc classique de voir ; si P vérifie cela; le degré de P , on aurait alors (en notant n le degré de P et en supposant que P est différent de 0) :
\large 2 + (n-2) = n
Et c'est là que ça coince, en effet, impossible de trouver le degré de P

Si vous pouviez m'aider, merci d'avance à tous

Posté par
Camélia Correcteurre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 16:05

Bonjour

En effet, à première vue, P pourrait être de n'importe quel degré!

Alors soit a_n le coefficient dominant de P de degré n.

Ecris le coefficient dominant de (X^2+1)P''-6P et... admire!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 16:39

Bonjour ;

Condition nécessaire :

Si P est une solution non nulle de degré n l'endomorphisme 3$\blue\fbox{\phi\;:\;\mathbb{R}_n[X]\to\mathbb{R}_n[X]\\\;\;\;\;\;Q\to(1+x^2)Q''-6Q} est non inversible

et comme sa matrice dans la base canonique (1,X,...,X^n) de \mathbb{R}_n[X] est triangulaire supérieure

son déterminant \Bigprod_{k=0}^n\left(k(k-1)-6\right) est nul

on en déduit la condition \red\fbox{n=3} et vu que rang\phi=n on a dimKer\phi=1

Condition suffisante :

en cherchant une solution de degré 3 on trouve 3$\blue\fbox{P=X^3+X}

Conclusion :

les solutions sont les polynômes 3$\red\fbox{\lambda(X^3+X)\\\lambda\in\mathbb{R}} sauf erreur bien entendu

Posté par
ChazyChazre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 17:16

Bonjour Camélia.
Malgré votre indication, je ne parviens pas à achever l'exercice, je trouve que le coefficient dominant de \large (X^2+1)P'' + 6P vaut \large \alpha_{n}... Et donc je ne parviens pas à conclure

Merci de m'aiguiller !

Posté par
ChazyChazre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 17:21

elhor_abdelali n'ayant pas encore abordé la notion d'endomorphisme ou de matrice, si vous pouviez m'expliquer autrement ce serait gentil

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 17:26

Oui ! Camélia y est allé directement

en écrivant 3$\blue\fbox{P=a_nX^n+R\\a_n\neq0\;,\;R\in\mathbb{R}_{n-1}[X]} on a 3$\blue\fbox{(1+X^2)P''-6P=a_n(n^2-n-6)X^n+Q=0\\Q\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}

donc nécessairement 2$\red\fbox{n^2-n-6=0} c'est à dire 3$\red\fbox{n=3} sauf erreur bien entendu

Posté par
ChazyChazre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 17:34

Un grand merci pour une réponse claire et précise, merci beaucoup !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Trouver tous les polynômes tels que... 25-01-09 à 17:39

C'était un plaisir ChazyChaz


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