Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Un automorphisme chez les polynômes
Bonjour !
Je suis légrèrement bloqué sur la question 2 et votre aide me serait bienvenue :
On considère l'application 
de R[X] dans lui-même définie par :
P
R[X], (P) = P + P''
1. Montrer que est un endomorphisme de R[X].
Ca, aucun problème. J'ai su démontrer que L(R[X]).
2. Montrer que est injectif.
J'ai tenté en prenant deux éléments A et B de R[X] tout en supposant que (A)=(B), mais je n'ai pas réussi à démontrer que A = B.
J'aurais préféré si possible montrer que Ker = {0R[X]} étant donné que je suis débutant dans les manips de noyaux, mais bon pas réussi non plus...
3. Montrer que est un isomorphisme de R[X].
En gros, on a juste à montrer qu'elle est surjective, mais bon j'ai beugué...
Il serait gentil de votre part de m'éclairer 
Bonne journée !
Bonjour
2. Effectivement, le mieux est de chercher le noyau. On veut donc tous les polynômes qui vérifient P+P''=0. A ton avis, quel peut bien être le degré de P si celui-ci est non nul?
3. Comme on est en dimension infinie, il faut montrer qu'elle est surjevtive. Le mieux est de se donner et de chercher par coefficients indéterminés un polynôme P tel que P+P''=Q. Remarque, ce faisant tu trouveras une solution unique, ce qui prouve directement l'injectivité...
2. Si P est non nul, son degré est - l'infini. Cette égalité est impossible si P est non nul mais je ne sais pas comment le démontrer en fait...
3. Je pourrai essayer cette méthode effectivement, merci du tuyau.
Le degré de P est supérieur de 2 au degré de P'', dans ce cas son degré serait n-2. Donc, excepté s'il s'agit du polynôme nul, cette égalité est impossible. C'est ça ?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac