salut

2 ( 2³ - 1³ ) = 1² + 2² + 3²

solution triviale (en excluant le couple (0,0) .... mais est-ce la seule ....


_{juste une remarque et je pense que les modo ne m'en voudront pas : met plutôt ce genre de topic dans détente en précisant .... ce qu'il y a à préciser (même si c'est du niveau supérieur), le supérieur" étant plutôt réservé aux topics plus "scolaires" genre questions de DM ou d'exos ....}

autre remarque triviale (certe....) :

si 2(x³ - y³) = a² + b² + c² alors parmi a,b et c il y a un nombre pair d'impairs _{^{et passe .... la main au suivant}}  

Profite de ce jour!

Une piste:   un carré...


Alain

bonjour,

Bonsoir,


Bravo!

Alain

bonsoir veleda

et bien vu je n'ai absolument pas pensé à l'écrire comme ça ce 2e facteur : il suffisait de rentre ce 2

...rentrer ....

bonsoir
>>Carpediem
(intuition féminine) mais plus sérieusement est ce qu'en imposant x-y=1 on a bien toutes les décompositions possibles en somme de trois carrés?

il me semble que (kx, ky) ne convienne que si k est un carré puisque x-y doit lui-même être un carré donc on doit perdre des cas en ne considérant que x-y=1
....

>>carpediem  oui c'est d'accord il faut prendre (x-y)=k²

Bonsoir veleda,

Il suffit de prendre mais ce n'est pas nécessaire.
Par exemple:
et donnent alors que .

bonjour jandri

effectivement je me posais la question : l'écriture donnée par veleda implique de prendre x - y = k² pour avoir une réponse ...mais ce n'est pas nécessaire....

mezalor peut-on trouver une condition plus générale sur x et y permettant de conclure ?

bonjour  jandri
pour avoir la décomposition: ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² il faut bien que(x-y) soit un carré non?
mais ton exemple montre qu'il y a d'autres décompositions et ma question est:sait-on toutes les trouver?

>>carpediem
je vois que nous nous posons la même question

veleda,
ta phrase:
"pour avoir la décomposition: ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² il faut bien que(x-y) soit un carré"
est fausse d'un point de vue logique.
En effet elle sous-entend que A+B+C=A'+B'+C' entraine A=A', B=B' et C=C'
ce qui est évidemment faux.

>>Jandry
ce n'est pas ce que je voulais dire ,je voulais dire :avec A²=(x-y)(x+y)²,B²=(x-y)y²,C²=(x-y)x²

>>Veleda
bien sûr, si on veut l'égalité A²=(x-y)(x+y)² il faut que x-y soit un carré.
mais l'égalité ((x-y)(x+y)²)+((x-y)y²)+((x-y)x²)=A²+B²+C² peut être vérifiée sans que x-y soit un carré (voir l'exemple que j'ai donné).

J'ai aussi un exemple avec x-y=2
.

Il est probable que l'on puisse trouver un exemple avec n'importe valeur strictement positive de x-y (je l'ai vérifié jusqu'à x-y=100).