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Un endomorphisme de R[X]...

Posté par
CC_ 23-04-08 à 20:19

Hello,

Voici un petit exo dont je souhaiterais rédiger une correction de niveau L1 maximum. C'est un exo que j'ai trouvé sur une feuille de TD de L1, et qui m'a un peu désorienté car je n'ai jamais fait ce type de truc dans ma courte vie universitaire (ni d'équation fonctionnelle d'ailleurs...). Voici la bête :

"Montrer que l'endomorphisme de R[X] \varphi : P \mapsto P(X+1)+P(X) est injectif".

J'avais pensé à un raisonnement qui me paraît biscornu, et que je souhaite soumettre à votre approbation.
Déterminons le noyau de l'application, c'est à dire tous les P tels que P(X+1)+P(X) soit le polynôme nul. Cela revient à déterminer les P tels que que pour tout X, P(X) = -P(X+1).
En particulier, P(0) = -P(1) = P(2) = P(4) = P(2n) pour tout n. Autrement dit, le polynôme P prend une infinité de fois la valeur P(0), ce qui signifie qu'il est constant égal à P(0).
Montrons à présent que cette constante est nulle : c'est une condition nécessaire, car si P(0) <> 0, alors P(1) = - P(0) <> 0 ; et le polynôme n'est pas constant, ce qui vient contredire le résultat précédent.
Conclusion : un tel P est le polynôme nul. Donc le noyau de l'endomorphisme est trivial, et celui-ci est injectif.

Est-ce que cela vous paraît "presque juste" ?

------------

Question subsidiaire : j'avais au début essayé d'exprimer de manière générique le polynôme P(X+1) + P(X). J'ai renoncé car je n'y suis pas arrivé.
En fait, je m'aperçois même tout simplement que si je connais P(X) = \sum \limits_1^n a_k X^k, je ne suis pas réellement foutu d'exprimer de manière jolie P(X+1).
Le mieux que j'aie su faire est P(X+1) = \sum \limits_{i=0}^n a_i (\sum \limits_{k=0}^i C_i^k X^k).
Je n'arrive par contre même pas à déterminer les b_k tels que P(X+1) = \sum b_k X^k...
C'est grave docteur ?..

Posté par
Nightmarere : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 20:23

Bonsoir

Citation :
Autrement dit, le polynôme P prend une infinité de fois la valeur P(0), ce qui signifie qu'il est constant égal à P(0).


Pourquoi?

Le plus simple est de dire que si a est une racine alors a+n en est une aussi quelque soit n.

Le polynôme a une infinité de racine et est donc identiquement nul (ça c'est du cours)

Posté par
Nightmarere : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 20:25

Pour avoir tes bk, pense à la formule de Taylor-Lagrange

Posté par
watikre : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 20:27

bonjour

ton premier raisonnement me semble correct à la précision suivante près:

P prends une infinité de fois la valeur P(0)
donc le polynome Q(x)=P(X)-P(0) a une infinité de zéros
donc Q est nul (ici tu utilise un théorème)
donc
P(X)=P(0) est constant

Posté par
Nightmarere : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 20:29

Euh oui petit hic dans mon raisonnement, si P n'a pas de racine...

Posté par
CC_re : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 21:00

Bonsoir tout l'monde !

watik > oui oui, c'est effectivement comme cela que j'ai raisonné J'en étais d'ailleurs venu à créer Q pour la raison qu'évoque Nightmare (me too j'étais allé un peu vite là-dessus au début)...
Sinon, si c'est correct, I'm happy !

Nightmare > Taylor-Lagrange, arf ! Ânefet... Mais il n'y aurait pas de moyen combinatoire ou bidouillatoire élémentaire sur la somme que j'avais commencé à exhiber ci-dessus, sans avoir recours à cette formule de l'analyse ?

Posté par
Baudelairere : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 21:49

Bonsoir,
pour montrer que l'endomorphisme
: P->P(X+1)+P(X) est injective tu peux voir que le coefficient de plus haut degré de (P) est le double de celui de P, donc (P)=0 P=0.

Posté par
tealcre : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 21:55

Bonsoir,

pour l'expression de P(X+1) on peut y aller à la "bourrin" :

4$P(X+1)=\Bigsum_{i=0}^n a_i \left(\Bigsum_{k=0}^i C_i^k X^k\right) = \Bigsum_{i=0}^n \Bigsum_{k=0}^i a_i C_i^k X^k

4$\fbox{P(X+1) = \Bigsum_{k=0}^n \left(\Bigsum_{i=k}^n (a_i C_i^k) \right) X^k} en intervertissant les sommes

sauf erreur

Posté par
carpediemUn endomorphisme de R[X] 23-04-08 à 21:59

si d°(P) = n il suffit qu'il ait n+1 zéros ...

Posté par
CC_re : Un endomorphisme de R[X]... 23-04-08 à 22:42

Chalut teak,

Ta façon d'intervertir les sommes est vraiment balèze, je n'avais jamais vu ça...
J'ai essayé de "voir" sur une "grille" \mathbb{N} \times \mathbb{N} que c'étaient bien les mêmes couples (k,i) qui étaient choisis avant et après l'interversion ; et on le voit effectivement...

Mais pour valider le tout bien rigoureusement, il faudrait considérer que la première double sommation (avant l'interversion) est la somme sur B = \{(i,k) \in [0,n] \times [0,n] \; | \; k \leq i \} ; et que la deuxième (après l'interversion) est la somme sur C = {(i,k) \in [0,n] \times [0,n] \; | \; i \geq k \}...
Et on a bien B = C, évidemment... Balèze...

Posté par
tealcre : Un endomorphisme de R[X]... 24-04-08 à 08:23

CC_, la méthode d'interversion dans le cas i de 0 à n, j de 0 à i, est "classique" dans le sens où on la voit très souvent. Donc savoir l'inverser "à vue" est utile


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