tout le monde est en vacance ?

Bonsoir.

Pour montrer que H est un sev de K³, tu dois prouver que

1°) H est non vide (ce que tu as déjà réalisé)

2°) H est stable par combinaison linéaire : pour (x,y) dans H² et (u,v) dans K², u.x + v.y est dans H

3°) Tu remarqueras que :

x H x = a.(1,1,0) + c(0,2,-1)

Donc, H = Vec(i,j) avec i = (1,1,0) et j = (0,2,-1)

(i,j) engendre donc H.

En montrant que (i,j) est également libre, tu disposeras ainsi d'une base de H.

ok mais donc le seul moyen de prouver que c'est de dimension finie c'est de chercher une base alors ?

bonjour,
tu as oubliéK,xH=>xH
si H était de dimension 3 comme HK³ on aurait H=K³ ce n'est pas le cas  (1,1,1)par exemple n'est pas dans H
tout vecteur x de H est de la forme
le système{u,v} est donc générateur de H,tu vérifies que u et v sont indépendants donc (u,v)est une base de H et

bonjour Raymond
je suis un peu en retard comme d'habitude

ok

par contre comment faire pour trouver une base d'un ensemble du type {(x,y)K² / x=0}  ?

et comment on fait pour trouver un sev engendré ?

H = {(x,y), x = 0} = {(0,y)} = {y.(0,1)}

Donc, H = Vec((0,1)) : sous espace de dimension 1 de K².

ok donc le but est de toujours mettre en facteur quelque chose.
Cela est il toujours possible ? Je pense que non sinon tout espace serait fini mais, dans ce cas, quand on ne trouve pas de facteur cela veut il toujours dire que l'espace est de dimension infini ? (désolé pour l'avalanche de questions ^^)

Dans K³, l'ensemble H = {(x,y,z), x+y-z=0} est un sous-espace de dimension 2.

Dans cet exemple, tu ne peux pas mettre directement en facteur

La définition d'un espace de dimension finie est :"un ev qui admet une base de cardinal fini".
Donc 2 moyens s'offrent à toi:

- un sev F d'un ev E de dimension finie est de dimension finie et dimF <= dim E
(dans ce cas, K^3 est de dim finie)
- tu trouves une base (ici, c'est assez évident vu la façon dont l'exo est posé, dans d'autre cas il faut le faire à la main, en cherchant un peu).

On peut trouver des bases d'espaces de dimension infinie (mais ces bases sont infinies)
par exemple (1, X , X² ...) est une base de R[X]

Pour trouver un sev engendré, on utilise simplement la définition : si A est une partie de E (K ev)
Vect(A) est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A.
Il s'agit de trouver une famille libre d'éléments de A et de taille maximale

Par exemple: si A = {(1,0,0) ; (2,0,0) ; (0;1;0)}
comme (1,0,0),(2,0,0) est liée, et que (1,0,0),(0,1,0) est libre, on en déduit:
Vect A = Vect{ (1,0,0) ; (0,1,0) } = { a(1,0,0) + b(0,1,0) | a,b dans K} = {(a,b,0) | a,b dans K}

Bon courage