Salut

Formule du binôme de Newton

Bonsoir,

Merci du petit coup de pouce.

On a d'une part :
(2+2)ⁿ = 2^k 2^n-k

et d'une autre part :
(2+(-2))ⁿ = 2^k (-2^n-k) = - 2^k 2^n-k

donc

(2+2)ⁿ + (2+(-2))ⁿ = 2^k 2^n-k        -           2^k 2^n-k
= 0 ?

Y'a t-il des erreurs ?


Merci d'avance

Bonjour

Bien sûr qu'il y a une erreur : la somme de deux réels strictement positifs ne peut pas être nulle !

Tu écris :

alors qu'il faut écrire :



Autrement dit, les signes + et - apparaissent alternativement dans la deuxième somme.

Autre manière de faire, par récurrence :

Si on pose
a = et b = ,

on constate que a + b = 4 et ab = 2.

Donc a et b sont racines de l'équation x² - 4x + 2 = 0.

On a donc

a² = 4a - 2
et
b² = 4b - 2

Donc
a^{n + 2} = 4a^{n + 1} - 2aⁿ
et
b^{n + 2} = 4b^{n + 1} - 2bⁿ

D'où

a^{n + 2} + b^{n + 2} = 4(a^{n + 1} + b^{n + 1}) - 2(aⁿ + bⁿ)

Cordialement
Frenicle