Soient * et E = {1,...,n} . On désignera par P l'ensemble des parties de E et pour tout k entier naturel P_k l'ensemble des parties de E qui ont k éléments.


On pose a = {Card(XY / (X , Y) P²} et b= {Card(X Y / (X , Y) P²} .

Pour tout X et tout Y de P on a : Card(X Y) + Card(X Y) = Card(X) + Card(Y) et Card(X Y) - Card(X Y) = Card(X\Y) + Card(Y\X). De là :

1._X,YCard(Y) = _X(_YCard(Y) )= _X2ⁿ = 2ⁿ_X1 = 2²ⁿ.
On a donc  : a + b = 2.2²ⁿ.

2._X,YCard(X\Y) = _Y(_ZX=Card(Z).
Si k E et Y P_k on a {Card(Z) | Z P et ZY = } = 2^n-k donc _X,YCard(X\Y) = _kEYPk2^n-k = _kECard(F_k)2^n-k = 2ⁿ.(1 + 1/2)ⁿ = 3ⁿ.
Il en résulte que a - b = 2.3ⁿ.

Finalement a = 4ⁿ + 3ⁿ et b = 4ⁿ - 3ⁿ

Merci beaucoup kybjm pour ta réponse !
J'ai bien compris la 1. mais je ne comprend pas du tout la 2. ...

Je ne toujours pas la 2ème démo (notamment la 1ère ligne). Merci de votre aide

1.Tout d'abord _X,YCard(X\Y) = _X,YCard(Y\X) car à l'aide d'un changement de variables on peut écrire :

_X,YCard(X\Y) = _A,BCard(A\B)   et   _X,YCard(Y\X) =_A,BCard(A\B) .
Pour 2 : Soit Y P . On a :
{X \ Y | X P} = { Z P | Z Y = } et le cardinal de cet ensemble est le nombre de parties de E \ Y qui est 2^Card(E\Y) = 2^n-Card(Y)
  
Pour tout k E et tout Y P_k on a donc Card({X \ Y | X P}) = 2^n-k et le Card(P_k) est  C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

Enfin _k=1ⁿ C(n,k)2^-k = (1 + 1/2)ⁿ = 3ⁿ2^-n ce qui fournit _X,YCard(X\Y) = 3ⁿ

merci kybjm
mais je ne comprend pas ce que veut dire Card(X\Y) ?
(est ce que c'est: card(XY) et si oui pourquoi ne pas avoir utilisé le symbole de l'intersection ?)


Merci encore d'avance

Les notations utilisées par presque tout le monde :

Si est un ensemble et X , Y des parties de :

.Y^c est le complémentaire de Y
. X \ Y = X Y^c = {x X | x y}
. X Y = (X \ Y) (Y \ X) = (X Y) \ (X Y) (fais un dessin)

Bonsoir ;

Je trouve et _{sauf erreur bien entendu}