Bonjour

1- On calceule (OO')²=36
et (ao')²+(ao)²= 36
Or (ao')²+(ao)²=  (OO')²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore j'en déduis que le triangle AO'O est rectangle
2- Soit l'angle ( O'AO) angle droit, et comme les points P, O', A et A, O, M sont allignés dans cet ordre j'en deduis que le triangle AMP est rectangle.
Je réfléchis à la suite ...

ok merci pour votre aide

3-Calcul de PA
o' Centre su cercle c' d'où PA = OA+PO' ( OA = PO' rayons du cerle C' ) d'où PA = 2 O'A = 4.8 x 2 = 9.6
Calcul de Am
o centre du cercle C d'où MA = OA + AM ( AM = OA rayons du cercle C ) d'où MA = 2 OA = 2x 3.6 = 7.2
Calcul de PM
APM est un triangle rectangle, d'après le théorème de pythagore je peut écrire  :
PM² = (AP)²+(AM)²
PM² = (9.6)²+(7.2)²
PM² = 144
PM = racine de 144 = 12

Calcul de l'angle APM :
sin APM = PA/ PM = 9.6/12
D'ou l'angle APM = 53.1

Calcul de l'angle AMP
si, AMP = AM / PM = 7.2/12
D'où l'angle  AMP = 36.9

4 - Soit O centre du cercle C et A et B points du cercle C donc l'angle AOB est un angle au centre interceptant la corde ab
Or AMB = AMP car les points M B et P sont allignés Et l'angle AMB interceptent La corde AB et M un point du cercle
Soit  AOB = 2 x AMB = 2 x AMP = 73.8° ( Comme AOB est un angle au centre sa mesure est égale au double de l'angle interceptant la meme corde que lui et ayant un^points appartenant au cercle unn peu confus désolé )

Je sèche un peu après  désolé est-ce que vous avez compris jusque là sinon ?

Soit L'aire APM = ( AM x AP ) / 2 ) = 34.56

Or Aire AMP = Aire ABP + Aire ABM

* Or Si le triangle ABP est inscrit dans un demi cercle de diamètre [AP]
alors ce triangle est rectangle en B. Donc le triangle ABP ets rectangle
D'où Aire ABP = (Ab x Ap)/2
- On doit dc calculer AP : sin APB = PB / PA
Or APB = APM = 53.1 et PA = 9.6
D'où sin 53.1 = PB /9.6 D'où sin 53.1 x 9.6 = PB
PB = 7.7
D'où Aire ABP  = (7.7 ab)/2 = 3.85 Ab

*Or Si le triangle ABM est inscrit dans un demi cercle de diamètre [AM]
alors ce triangle est rectangle en B. Donc le triangle ABM ets rectangle
D'où Aire ABM = (BM x AB)/2
- On doit dc calculer BM :
BM = PM - PB = 12-7.7 = 4.3
D'où Aire ABM  = (4.3 ab)/2 = 2.15 Ab


*Aire AMP = Aire ABP + Aire ABM
34.56 =3.85 Ab + 2.15 AB
34.56 = 6 AB
34.56/6=AB
AB = 5.76cm ( là je n'y mettrait pas ma main a couper !! ) J'espère vous avoir aidési jamais vous avez des questions ...
A bientôt

et bien merci pour votre précieuse aide , je pense qu'avec cela nous arriverons au bout de l'exercice

Bonsoir Marie-Claude !
On peut calculer AB par la méthode des triangles semblables.
Soit I l'intersection de AB et de OO'. OO' est la médiatrice de AB, donc lui est perpendiculaire et AI = IB.
Les triangles rectangles O'OA et O'AI sont semblables, ayant un angle aigu O' commun. AI/O'A = OA/O'O. AI/4,8 = 3,6/6; AI = 3,6*4,8/6 = 2,88;
AB = 2*AI = 2*2,88 = 5,76.

Autre façon : exprimer de deux façons l'aire de AOO'.
Avec les notations de plumemeteore :
AI.OO'=AO.AO'...