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Un sous groupe de C*
Bonsoir !
J'aurais besoin d'aide pour une petite question...
On considère l'ensemble Up = {z 
tq 
n 
tq zp^n=1}
J'ai montré que c'était un sous groupe infini de .
On considère maintenant H, un sous groupe propre de Up.
On prend a et b dans Up, et n , avec ap^n=1, a 
H et bp^n
1. Il faut que je montre que b H.
Il y a une indication : "rappelons que tout sous groupe fini de * est cyclique".
Je ne vois pas du tout comment m'en tirer. Une idée...?
je suis désolé je ne peux pas te répondre, je ne suis qu'en première (mais j'ai une question )tu fais quel Master?
Salut,
hmm tu es sûr qu'on a besoin de cette indication.
Mon idée on suppose b dans H alors on montre que a sera dans H aussi en montrant que a est une puissance de b.
En effet, on peut supposer que p^n est l'ordre de a(car quitte à prendre p^r avec r<n on aura toujours b^p^r différent de 1).
Bon maintenant b est dans Up donc il existe m minimal tel que b^(p^m)=1 avec m>n. Les racines p^m ieme de l'unité sont engendrées par b car on a pris m minimal, ainsi comme n<m on a a^(p^m)=1 et a en fait partie donc c'est une puissance de b.
Vérifie que j'ai pas fait d'arnaque j'écoute de la musique en même temps donc il se pourrait que j'ai enflé.
Oui moi aussi cette indication me perturbe, pourtant elle est bien marquée dans cette question, il n'y a pas de doute possible.
Mais la question d'après est "montrer que H est cyclique", donc le prof a du se tromper et l'indication doit valoir pour la question suivante.
Hum en fait t'es sûr que b^(p^m) génère les racines (p^m)-ièmes de l'unité ? Ca me saute pas aux yeux...
Bien b est une racine p^m ieme et donc si b ne générait pas ce groupe cyclique il serait d'ordre p^r avec r<m or on a pris m minimal.
Ok, dis moi ce que tu penses de ce que j'ai fait :
j'ai pris un complexe a dans Up mais pas dans H (puisque H est un sous groupe propre).
Il existe n tq a^(p^n)=1. D'après la question précédente, tous les complexes b tq b^(p^n)1 ne sont pas dans H. Donc H ets inclus dans les racines p^m ièmes de l'unité, donc H est fini (et donc cyclique).
C'est bon non, tu pensais à ça ?
Oui je pensais à ça 
Quand tu dis p^m ieme tu veux dire p^(n-1) iemes non?
Je l'avais pas rédigé comme ça, faut toujours que je fasse cela par l'absurde 
Sinon ton pseudo c'est parce que t'es fan de Metallica?
Alors oui je me suis trompé, mais non je voulais pas mettre p^(n*1) non plus. Je voulais mettre p^n. Pourquoi p^(n-1) ??
Et sinon, oui, je suis (enfin surtout j'étais) fan de Metallica 
Ha lol tu m'as fait peur ! J'essayais de trouver une bonne raison mais j'ai pas trouvé ^^
Oui j'ai vu ça a taratata l'autre jour, mais la chanson qu'ils ont joué m'a pas trop plu.
En fait, j'aimais déjà pas trop St Anger. J'aimais surtout Metallica avant, quand j'avais ma periode metal un peu bourrin, mais là je me suis radouci avec des truc plutôt rock 70's
Toi aussi tu dois être fan, si tu connais fade to black !
Ah oui, et pourquoi tout groupe fini dans * est cyclique ?
Et sinon, à quoi sert cette indic ? puisque H est un sous groupe des racines p^n iemes de l'unité et que c'est un groupe cyclique, H est cyclique non?
Non j'aime bien mais je suis pas fan et je suis loin de maitriser leur discographie(tiens la j'écoute fade to black mais de Dire straits). En ce moment aussi je suis dans ma période rock 60/70s mais j'ai jamais eu de période métal bourrin 
Sinon l'indic elle sert un peu à rien.
Pour montrer que tout groupe fini de C* est cyclique, bien soit tu sais qu'un sous-groupe multiplicatif fini d'un corps est cyclique(résultat général, il y a la démo dans groupe cyclique post d'aujourd'hui où Camélia a mis en lien la démo dans un autre fil).
Sinon ici plus simplement comme le groupe est fini d'ordre un certain n, pour tout x dans H, on a x^n=1 et c'est le sous-groupe des racines n-iemes de l'unité qui est cyclique engendré par une racine primitive.
Oui oui mais je voulais savoir dans le cas général ; ok j'ai vu la démo de Camelia. Merci beaucoup !
Bon il reste une dernière question que j'aimerais bien faire avant de me coucher.
Il faut montrer que si on a un groupe fini G quelconque, et un homomorphisme f:Up->G alors f(x)=e où e est le neutre de G, pour tout x.
T'as une idée ? Je suis sec là !
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