Bonjour,

Voilà le début du raisonnnement :

Alors  X^p-1  est unitaire à coefficients dans  Z  et c'est un multiple du polynôme minimal de  exp(2i/p) qui est donc unitaire à coefficient dans  Z aussi . D'ailleurs appelons le  _p(X)  il est facile de voir qu'il s'agit de  X^p-1+...1.
Bref ce polynôme là  est réciproque c'est à dire les coeeficients sont symétriques par rapport au milieu. Alors si on pose  Y = X+1/X  tu prouves facilement que   _p(X)/X^(p-1)/2 = Q(Y)  et les racines de  Q  sont ?

ps : ça marche encore avec  p  remplacé par n  sauf que le polynôme cyclotomique d'indice  n  est plus compliqué.

Bonjour lolo,

Les racines de Q ce sont les pour k dans [|0,p-1|] non? En particulier il y a notre .

Donc on peut conjecturer que le degré de cet extension est (p-1)/2 je suppose. On a déjà trouver un poly reste à prouver qu'il est minimal.

Juste?

oui c'est cela

Si je dis que:

exp(2i/p) est de degré p-1 sur 1 et Q(cos(2/p) est une "sous extension" de cette dernière. J'appelle k l'extension de Q par exp(2i/p).
Du coup comme [k:Q]=[k,Q(cos(2/p)][Q(cos(2/p):Q] on a[k,Q(cos(2/p)]> 1 (extension non triviale) et donc [k,Q(cos(2)]<=(p-1)/2. Ca permet de conclure.

c'est bon?

pas tout à fait, je crois qu'il faut prouver qu'on a 2 comme degré de la deuxième extension (et en fait le coup du polynôme réciproque semble inutile)

Si K=Q(cos(2pi/p) et L=Q(e^(i2pi/p)) , alors K est le sous corps de L fixé par la conjugaison complexe s  (ou plus grand sous corps réel de L : L). s engendre un groupe d'ordre 2, donc le degré de L sur K est 2.

bon puisque quelqu'un a donné une solution en voci une autre :

2cos(2/p)= exp(2i/p)+exp(-2i/p)

d'où le polynôme minimal de  exp(2i/p)  sur
Q(cos(2/p) .

Comme corollaire on a que  Q(Y)  est le polynôme minimal de 2cos(2/p) .

Bonjour,

lolo >> Oui j'avais vu mon erreur après coup et l'avais corrigé. Finalement, j'avais fait comme toi pour prouver que [k,Q(cos(2pi/p))]=2. Merci.
Si c'est pas trop compliqué, tu pourrais m'aider à montrer comme tu dis que:

Oui essayons :  on note  _n(X)  le polynôme unitaire dont les racines sont les  exp(2ik/n)  où  (k,n)=1.

a) On poruve que  Xⁿ-1 est le produit des  _d(X)  pour  d  divisant  n .
b) on prouve que  _n(X)  est le polynôme minimal de chaque racine primitive (ça c'est difficile disons qu'on peut admettre le résultat c'est un exercice indépendant.
c) Donc   le degré sur  Q  d'une racine primitive  n -ième est  (n)  (l'indicatrice d'Euler).
d)  on conclut comme précédemment .

J'ai rien vérifié du tout ...donc prudence

disons que si tu montres que _n(X)  est dans  Z[X]  pour le  b) c'est déjà bien.

Let us go.

a) On montre tout bêtement qu'ils ont les mêmes racines. Etant tous deux unitaires ça règle le problème.
Si tu veux des détails:
Soit une racine de . Elle est de la forme . On a k=gk' et n=gd avec g=pgcd(k,n). Alors est racine de .
Il est clair qu'une racine de est racine de quand d|n. Ce qui règle la question.

b) J'essaierai de prouver la minimalité plus tard (t'as raison: pas facile facile ).
Je me contente pour l'instant de montrer que est à coefficients entiers.
On fait une récurrence forte sur n pour ça, ça marche très bien.
En effet, on a . Notre est dedans: il peut se voir comme le quotient de par ce dernier étant à coef entier (par hyp de récurrence) et unitaire ça règle le problème.
En effet, dans Z[X] quand on quotiente un poly P par un autre poly Q unitaire, le quotient et le reste de la division euclidienne sont aussi dans Z[X] (suffit de suivre pas à pas l'algorithme d'Euclide qui permet d'avoir le quotient et le reste).

c) Ben oui, il y a exactement élément premier avec n dans {1,...n} (car inversible dans Z/nZ).

d) Oui, on refait exactement le même raisonnement.

b) tout à fait !

a)  oui car les racines sont simples

et comme corollaire on détermine tous les  cos(2/n)  qui sont rationnels.

Question subsidiaire  que dire du degré de   sin(2/n) ?

Pour les il faut (et suffit) que (pour que l'extension de Q par soit triviale).
Bon, on a n=1, n=2, n=3, n=4, n=6 et je pense que c'est tout.

Pour le degré de , je dirai mais sans grande conviction.

oui  pour la rationalité.


Pour le sinus je n'ai pas vraiment réfléchi, mais c'est inférieur à  (n)  puisque que le degré du cosinus est la moitié.

Ouaip, j'y ai aussi pensé mais c'est pas aussi évident que ça.
En faisant le même raisonnement, avec quelques modifs, on a que 2isin(2pi/n) est de degré phi(n) sur Q.
Mais "i" n'étant pas (a priori) dans cette extension je rajoute "i" (donc je double le degré) et là, j'ai une extension où ya sin(2pi/n) laquelle est de degré 2phi(n). J'ai pas essayé d'optimiser mais c'est sûr qu'on peut le faire.

D'ailleurs c'est forcément faux puisqu'avec une telle formule on aurait que sin(2pi/4) de degré 4 sur Q... Pas terrible donc...

Comme  cos²(x)) + sin²(x)=1  ,  sin(2/n)  est dans une extension de   Q(cos(2/n))  de degré au plus 2 .
Donc  le degré du sinus est  plus petit que  (n).

Maintenant en se servant des deux extensions (l'extension réelle ci-dessus) et l'extension imaginaire de ton message précédent on peut peut-être y arriver ? Je réfléchirais plus tard si tu n'y arrives pas.

Mmmm, j'ai pas vraiment trouvé...^^ Si t'as un temps pour réfléchir dessus...

oui je vais essayer de trouver le temps.

Si on part de  Sin(2/n)  en fonction des exponentielles, par contre je ne vois pas le polynôme minimal de  iSin(2/n)  parce que le cyclotomoique ne se comporte pas bien par changement de variable
Y =X-1/X ?

exp(2i/n)  engendre les racines de l'unité du corps
  Q(exp(2i/n)) groupe cyclique de cardinal  n .
Donc  i  appartient à ce corps si et seulement si  4  divise  n .
Donc  si  4  divise  n  on a que  sin(2/n)  est dans un corps de degré  (n) . Mais ce corps est imaginaire (sauf cas exceptionnel) donc en fait le sinus est dans une extension de degré =< (n)/2 .

Je te laisse finir ce cas là ? J'ai l'impression que le résultat final va dépendre de la congruence de  n  modulo 4 (ou 2?).

La je dois partir à +

Ok lolo, vais voir ça.

Bon alors  pour  4 divisant  n  (bien qu'il y ait une légère erreur dans mon message précédent) on a bien  i  dans  Q(exp(2i/n)) . Donc
sin(2/n)) est algébrique de degré   (n)/2
Mais Q( sin(2/n)),cos(2/n)))  est une sous extension de degré 2 de  Q(exp(2i/n))  qui contient
  Q(cos(2/n))) ...donc  les deux extensions réelles précédente sont égales .
Le même raisonnement montre que Q( sin(2/n)) = Q(cos(2/n))) . D'après les résultats précédents sur le cosinus
sin(2/n)) est algébrique de degré   (n)/2.

Merci de vérifier....ça ferait le quart du boulot de fait. Je me suis souvenu avoir eu ce sujet en devoir maison en maitrise ...Et il y avait plein de questions intermédiaires...je crois que Gauss avait fait ces calculs sans théorie de Galois ...Si je ne me trompe pas ?

je voulais écrire  =  bien sûr à la fin du raisonnement

Je n'ai pas tout lu mais il y a forcément un problème avec la formule que tu proposes. Prends par exemple n=12...

A mon avis, faudrait revenir à cos. On a déjà sin(2pi/n)=cos((n-4)/4n*2pi)
On note alors g=pgcd(n-4,4n). D'où n-4=m*g et 4n=m'*g puis:
sin(2pi/n)=cos(m/m' 2pi). Reste plus qu'à trouver le degré des cos(a/b*2pi) (a et b premiers entre eux) ça c'est pas trop compliqué à mon avis et après de trouver le "g" en fonction de "n". Ca déjà, c'est nettement mon facile.

oui ma faute est dans le "Le même raisonnement montre que"  formule dont il faut souvent se méfier .

Ok!

Quoiqu'il en soit, si on prouve que cos(a/b 2pi) est de même degré que cos(2pi/b) quand a et b sont premiers entre eux, alors on en aura fini de cet exo.
Le calcul du pgcd peut se traiter "à la main" sans trop de difficultés il me semble...

Bon on m'a donné la référence : Ribenboïm  Algebraic numbers 1972 , je ne peux pas aller voir cette référence pour le moment. Donc si tu peux ça serait sympa de raconter ici la preuve.  

Ok mais ça parle de quoi ce livre?
J'essaierai, on est censé aller à la BU la semaine prochaine. J'essaierai de le trouver là bas.

Très bien, Ca doit parler essentiellement d'extension finies de  Q = les nombres algébriques