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Une petite formule
Bonjour,
un petit exercice pour notre ami kaiser :
Montrer que si
.
Une idée ?
Ou alors plus simplement, la " version série " du théorème de convergence dominée à :
ça doit bien marcher.
Je te laisse entre les mains de Kaiser (et autres 
) fin des vacances malheureusement, je dois y aller.
Bon courage !
J'ai un petit souci dans la définition de la suite de fonction, normalement ce sont des fonctions mesurables toutes intégrable relativement à la mesure de Lebesgue.
Mais je n'arrive pas à voir pourquoi si on définit par
alors c'est bien le cas.
J'utilise le résultat :
si
Cela fonctionne parfaitement.
Pour pouvoir utiliser cela, il faut vérifier :
.qu'il y a convergence simple.
.qu'il existe une majorante intégrable.
J'arrive à montrer ces deux points.
Je ne comprend pas uniquement 13:53.
salut à tous
Ces fonctions sont mieux que mesurables. Elles sont continues.
De plus, on a affaire à une somme finie de fonctions intégrables donc c'est une fonction intégrable.
Kaiser
A ce propos je trouve que la limite simple = la majorante intégrable.
euh presque : il faut qu'elle soit positive et la limite simple ne l'est pas (z est complexe).
Pourquoi sont-elles intégrables ?
Chaque terme défini une fonction continue. Il reste à voir ce qui se passe au bord (en 0 et en
En 0, chaque terme tend vers 0 et en l'infini, c'est par exemple un o(1/t²).
Kaiser
Justement, je voulais te faire dire qu'il y avait le problème en 0 à traiter.
Maintenant, tout est OK.
Kaiser
Je cherche une suite à cette exercice, mais je n'en trouve pas.
Est-il possible d'appliquer Fubini ou Fubini-Tonnelli dans l'intégrale ?
(dans le même style que 
question 1.c.)
Non, pas dans l'intégrale elle-même.
Comme dans le sujet, on avait une intégrale simple (la fonction gamma) et en écrivant on tombe sur du Fubini-Tonnelli et donc une petite suite à l'exercice.
As tu vu le sujet ?
oui j'ai vu le sujet, mais je ne sais pas si ça donne quelque chose en fubinisant ainsi, avec la fonction de ce topic.
Entre parenthèses, l'égalité montrée ci dessous donne une relation entre la fonction Gamma d'Euler et la fonction zêta de Riemann, qu'on peut peut-être essayer de creuser un peu plus.
Kaiser
En fait, comme le paramètre est complexe, ça donne plutôt envie de s'intéresser à des propriétés d'holomorphie, mais j'ai l'impression que tu n'as pas fait d'analyse complexe, du moins pas encore (tu as déjà vu que les fonctions Gamma et zêta étaient dérivables et même indéfiniment donc leur produit aussi).
Kaiser
Si tu vois quelque chose qui puisse se rapprocher du sujet (fubini, dérivation, ou autre) tiens moi au courant. Je suis intéressé.
J'ai un petit souci dans la compréhension de ceci :
Chaque terme défini une fonction continue. Il reste à voir ce qui se passe au bord
Ok
En 0, chaque terme tend vers 0 et en l'infini, c'est par exemple un o(1/t²).
On étudie la limite lorsque t tend vers 0 et t tend vers + l'infini de
J'ai refait le calcul, je trouve que
Ensuite il y a un passage que je n'arrive pas à justifier :
Puis :
C'est parce qu'on a une série à termes positifs ?
On étudie la limite lorsque t tend vers 0 et t tend vers + l'infini de
oui
J'ai refait le calcul, je trouve que
non, tu ne te trompes pas.
C'est parce qu'on a une série à termes positifs ?
oui (tu ne fais que rajouter des termes positifs).
Kaiser
Faux :
par définition, si t est un réel strictement positif et a un complexe, alors on pose .
Kaiser
oui (par définition un truc tend vers 0 si et seulement son module tend vers 0)
(n'oublie pas non plus de considérer l'exponentielle)
Kaiser
Ok!
Peut-on dériver ?
On a que :
est dérivable sur
est intégrable sur
On exprime :
Il reste à majorer convenablement ?
Je vais montrer que les deux fonctions :
et
le sont.
elles sont toutes deux continues, on regarde donc ce qui se passe aux bords.
en 0 :
est équivalent à
J'écris :
avec s<1
?
en
est équivalent à
qui est équivalent à
J'écris :
avec s>1
?
(la deuxième fonction, c'est du même topo..)
En 0 :
oui, c'est ce qu'il faut faire
En :
C'est faux : l'exponentielle tend vers 0.
Sinon, pour prouver l'intégrabilité, il faut bien montrer que l' équivalent simple sur tu trouves (après correction) est un petit o de 1/t^s avec s > 1.
Kaiser
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