Salut

Question d'ôter tout doute de mon esprit: qu'appelles-tu anneau régulier?

(tes khôles doivent être sympas si t'as toujours des exos de ce type là. ).

Un anneau régulier c'est un anneau local, noethérien avec un ideal maximal qui soit engendré par n élément oú n est la longueur maximale d'une chaîne d'idéaux premiers emboîtés.

Bonsoir,

Tout anneau local régulier est factoriel.

C'est une propriété générale des anneaux intègres noethéirens intégralement clos dans lesquels tout idéal admet une résolution finie par des modules libres (cf Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitre 8 $4)

Lu ici (oui je ne l'ai pas trouvé tout seul ^^)

Bonjour,
Je serai curieux de savoir qui a posé ça...Autant te le dire tout de suite tu trouveras pas, c'est un des résultats d'algèbre commutative les plus difficile qui soit et il faut plusieurs pages pour le prouver...

Ok, donc je suppose que c'est l'unicité qui pose problème? L'existence, le caractère noéthérien suffit amplement. Je cherche, je cherche...

Y a pas d'histoire d'existence et d'unicté ici, un anenau (local) regulier c'est un anneau qui verifie dim A=dim M/M² ou M est son ideal max, vu comme A/M esp vect.
Par le lemme de Nakayam, c'est equivalent a M engendré par exactement n-elements....mais ils ne sont pas a priori uniques.

Dans mon dernier post n c'est la dim de A, on a toujours en fait dim A <= dim m/m².
Le theorème mentionné se prouve a grand coup de tor et de ext me semble-t-il...tres loin du niveau prepa en fait.

Ah j'ignorais que c'était si difficile. C'est un ami qui m'avait donné ça en disant "c'est intéressant comme exo", sans doute a t il voulu me faire chercher pour rien ^^.

Faut dire que l'étude systématique des anneaux un peu tordu est foncièrement hors-programme, même pour les * (je sais de quoi je parle sur ce coup-là). Ceci dit, un exo très sympathique qu'on peut quand même démontrer en khôlle si on se débrouille un peu: "Soit A un anneau (commutatif). A noethérien <==> A[X] noéthérien". Ca c'est relativement faisable.

Et si tu veux un exo vraiment marrant, en voici un:

Soit A un anneau non supposé commutatif. Soit a dans A qui possède au moins deux inverses à gauche.
Montrez qu'il en possède une infinité.

Très très zouli.

Heu ben en fait les anneaux reguliers ils sont pas tordus...puisqu'ils sont reguliers , en fait ils interviennent naturellement en geometrie algebrique pour definir l'equivalent de la lissité pour les variétés diff (voila j'ai ramené ma science). C'est d'ailleurs a l'occasion d'un cours de Geo algebrique que mon prof a qualifié ce resultat de fortement non trivial (meme Liu ne le fait pas dans son bouquin et renvoie a Matsumura, c'est dire!).
Le theorème de transfert est deja plus abordable en prepa (et vraiment d'un tout autre niveau).