Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu ???

Sacré Chris, tes problèmes sont toujours aussi simples, d'ailleurs
je ne démentirais pas cette rumeur, mais je pense qu'elle émane
des rédacteurs de Voici qui parlait d'un cardinal puissant qui
se tenait près du corps du premier pape...

oui c'est d'apres l'algorythme de sylvanus

soit Z(i)={x+iy, (x,y) appartenant a Z}
a tout nombre complexe z, on associe le nombre k(z) d'elements p de Z(i)tel que module de (z-p) soit inferieur a 1.
Montrer que si im(z) et re(z) appartiennent a Z alors k(z)=1.
puis montrer que pour tout nombre complexe z on a:
k(z)=k(iz)=k(conjugué de z)

aidez moi vite svp car je suis bolqué sur mon devoir.Merci

Prépares-tu le capes de mathematiques, j'ai le même exercice
pour cette préparation et je suis également bloqué !!!

Tiens c'est amusant, la nouvelle configuration du site (bravo à T-P et Océane que je n'ai pas encore eu l'occasion de féliciter, au fait! )permet d'accéder rapidement à de très anciens topics...où Océane n'était pas encore enseignante semble-t-il!

Pour la beauté de la question, je vais quand même y répondre, même si Nexus n'a sans doute plus besoin de la solution à l'heure qu'il est!

Tout corps fini K a pour caractéristique un nombre premier (rappel: la caractéristique d'un anneau A est le plus petit entier n strictement positif -ou nul par convention si aucun entier strictement positif ne fait l'affaire- tel que pour tout x de A, n.x = 0).

En effet, l'application de Z dans K qui à tout n associe n.1 (1 étant l'élément neutre de la multiplication dans K) est un morphisme d'anneaux, donc son noyau est un idéal de Z: il est donc de la forme kZ.

Alors Z/kZ est isomorphe au sous-anneau de K qui est l'image de ce morphisme.Ce sous-anneau est un corps puisque K en est un, donc Z/kZ aussi, ce qui implique que k est premier.

On a ainsi k.1 = 0 avec k premier, ce qui implique que pour tout x de A, k.x = k.(1x) = (k.1)x = 0x = 0.
Le nombre premier k est donc la caractéristique de A.

Comme on l'a vu, le corps Z/kZ est isomorphe à un sous-corps de K, donc K admet une structure canonique d'espace vectoriel sur Z/kZ.
K étant supposé fini, cet espace vectoriel est de dimension finie n, ce qui entraîne que K est isomorphe à (Z/kZ)ⁿ.

Les deux ensembles en jeu étant de cardinal fini, l'égalité de leurs cardinaux s'écrit:

Card(K) = kⁿ avec k premier, ce qui achève la solution.

Pardon, je suis allé un peu vite en besogne sur un point que je reprends donc:

l'image du morphisme est un sous-anneau du corps K.
C'est donc un anneau intègre (mais pas forcément un corps).

De plus K est supposé fini, donc cet anneau intègre l'est également.Or tout anneau intègre fini A est un corps, car pour tout x non nul fixé de A, l'application de A dans A qui à y associe xy est injective entre deux ensembles finis de même cardinal, donc bijective : en particulier, pour tout x non nul, 1 admet un antécédent y par cette application, en d'autres mots x est inversible.

On obtient donc que Z/kZ, qui est isomorphe à ce corps, est un corps, donc que k est premier.La suite de la démonstration me semble correcte.

Salut

C'est pas plus simple de dire que tout corps est un ev sur son sous-corps premier? On sait que ce sont les Fp dans le cas des caractéristiques non nulles donc c'est fini non?

Salut,

ben oui mais il sort d'où ton résultat?Je viens de le redémontrer en fait!

Salut tigre !!! Ca fait longtemps !

Lui répondre après 7 ans, il doit vraiment se voir chanceux !

Salut monrow!! Oui ça fait longtemps, mais, tel un tigre, je suis un peu imprévisible

Je ne pense pas Nexus lira ce message, en effet

Coucou
La nostalgie des débuts
Et non, je n'étais pas encore prof et . . . Nexus, nous le connaissons très bien C'était une petite pointe d'humour de la part de ce sacré nexus et je ne pense pas qu'il attende une réponse
On mettait de l'activité sur le forum comme on pouvait au début C'était le 11 ème topic quand même

Avec plaisir Océnae!

Euh...on le connaît donc ce Nexus?

TP et moi oui, vous non

Bonjour à tous,

Bon retour sur l' Tigweg, contente de te revoir     _{(belle remontée d'archives au passage )}
... Je viens de trouver un topic qui pourrait peut-être t'intéresser :   Besoin d'aied pour mon TIPE

Coucou Flo et merci pour ton accueil!
Merci aussi pour le lien, je vais essayer de décourager ce jeune homme (c'est quasi-impossible ce qu'il demande!) de poursuivre dans cette voie...
A bientôt!