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une symétrie orthogonal est un automorphisme
Bonsoir , mon problème est dans mon titre!
Je voudrais démontrer qu'une symétrie orthogonale par rapport à E' (un sous espace vectoriel de E qui est de dim fini n) est un automorphisme.
On me donne comme définition de la symétrie orthogonale:
Pour tout x de E , décomposons x=x'+x" dans la somme directe orthogonale E=E'
E'perp et posons s(x)=x'-x".
L'application s:E->E ainsi définie est appelée symétrie orthogonale par rapport à E'.
Qu'est ce que çà veut dire "par rapport à E' " s'il vous plait?
On a s=2p-Id où p est la projection orthogonale sur E'(si on décompse x en x' +x" , p(x) =x').
J'ai déjà montré que , comme p est linéaire, s est linéaire, et que s²=Id.
Je voudrais montrer que c'est un automorphisme, donc que c'est bijectif , c'est bien çà?
Comme E est de dim fini et que s:E->E je peux montrer qu'elle est injective car on aura équivalence entre injection, surjection et bijection.
Est ce que vous pourriez me dire si mon raisonnement est bon s'il vous plait? merci d'avance.
Soit x1 , x2 appartenant à E tels que s(x1)=s(x2) donc comme s est linéire s(x1-x2)= donc s(s(x1-x2))=s(
)
or s²=Id donc on a x1-x2=s()
et là je me pose une question , est ce que s()=
?
Si j'ai une application f:E->F pour pouvoir dire que f(0E)=0F ,est ce que f doit être seulement linéaire?
Si j'ai le droit j'ai donc x1-x2= donc x1=x2
d'où s est injective donc bijective et s est bien un automorphisme.
Veuillez m'excuser mais j'ai tendance à peut être poser trop de question dans un même message.
Merci pour votre aide
Bonsoir 
Ca me paraît correct, et oui on a bien s(0) = 0.
Par ailleurs toute transformation orthogonale est un automorphisme.
Bonsoir , merci pour votre réponse!
s(0) = 0 , c'est parce que s est linéaire?
Pourquoi le fait que ce soit orthogonale implique que c'est un automorphisme?
Oui parce que pour tout a dans K on a s(a.x) = a.s(x) donc en prenant a = 0 c'est direct.
Tu connais la définition d'une transformation orthogonale ?
D'accord merci pour l'explication.
Une transformation f est orthogonale si quelque soit x appartenant à E ||f(x)||=x ou alors quelque soit x et y appartenant à E on a f(x).f(y)=x.y
c'est bien çà?
Mais je ne vois pas le rapport avec la bijection
Oui voilà par définition une transformation f est orthogonale si elle conserve le produit scalaire.
Et en effet on peut montrer seulement que ||f(x)||=||x|| (n'oublie pas la norme).
On peut également montrer que c'est équivalent au fait que pour toute base orthonormée B de E, f(B) est une base orthonormée de E.
Et pour que cela soit réalisable il faut que f soit bijective. D'où l'automorphisme.
On utilise les identités de polarisation.
Soit une base orthonormale de E, on a :
Donc est une base orthonormale de E.
Merci pour toutes vos explications.
Je comprends ce que vous me dites mais je suis incapable d'avoir ce genre de raisonnement. J'ai vraiment l'impression qu'il faut tout me faire.
Je vous remercie d'avoir pris de votre temps pour m'aider!
Bonne soirée
Bonjour
Une idée simple, avec un raisonnement simple facile à retenir:
une symétrie (même non orthogonale) est déjà un automorphisme.
En effet:
s²=Id.
Si A est une matrice repésentant s , alors A² = I matrice identité
En passant aux déterminants:
det (A²) = det (A.A) = (det A) . (det A) (propriété des déterminants) = (det A)² = det I (grace à l'egalité ci-dessus) = 1
soit (det A)² = 1 ce qui entraine det A = +1 ou -1 donc A est de déterminant non nul, donc bijective. Donc s également.
Non?
Bonjour jeanseb , merci pour l'explication j'ai compris .
Si je peux me permettre est ce que je peux poser une question par rapport à ce que m'as dit infophile dans un message plus haut.Parce que j'ai réfléchi à çà après mais je me pose des questions.
Pour que toute base orthonormée B de E, f(B) soit une base orthonormée de E , il faut absolument que f soit bijective.Mais comme on a le même espace d'arrivée que de départ on a bijection 
injectionsurjection, non?
Mais si j'avais f:E dans F avec dim(E)=dim(F)=n ,pour que toute base orthonormée B de E, f(B) soit une base orthonormée de F c'est pareil, non?il faudrait qu'elle soit bijective ou injective ou surjective , c'est çà?
merci
Oui, c'est cela. Mais n'oublie pas que ce n'est pas suffisant: il faut en plus que f conserve le produit scalaire.
Salut jeanseb
deydey54 > Oui si on est en dimension finie. En fait la raison pour laquelle "B b.o.n, f(B) b.o.n" <=> "f bijective" vient que l'image d'une famille libre par une application injective est libre, et que l'image d'une famille génératrice par une application surjective est génératrice.
Bonjour à vous deux; merci de m'aider!
Je n'arrive plus à distinguer dans quel cas je dois dire que f conserve le produit scalaire.
Dans le dernier message d'infophile : "B b.o.n, f(B) b.o.n" <=> "f bijective" vient que l'image d'une famille libre par une application injective est libre, et que l'image d'une famille génératrice par une application surjective est génératrice. Est ce que f conserve le produit scalaire?
Merci
Non non là ça n'intervient pas, ça dit juste que si une application linéaire transforme une base en une autre alors elle est bijective.
D'accord merci mais alors je ne comprends pas la remarque de jeanseb
"Oui, c'est cela. Mais n'oublie pas que ce n'est pas suffisant: il faut en plus que f conserve le produit scalaire."
Dans quel cas f doit conserver le produit scalaire? Puisque "B b.o.n, f(B) b.o.n" <=> "f bijective" il faut juste que f soit linéaire.
Merci
Ah oui c'est parce que la base est orthonormée qu'il faut cette condition, je ne l'ai pas précisé car ça faisait parti de mes hypothèses (f transformation orthogonale)
pour que toute base orthonormée B de E, f(B) soit une base orthonormée de F c'est pareil, non?i
Mon "oui" s'appliquait à ta phrase SANS les mots "orthonormée", ma remarque à la phrase "AVEC" lesdits mots.
Ok merci!
Alors je reprends:
si une application linéaire f transforme une base en une autre alors elle est bijective ( donc f est un isomorphisme ou un automorphisme)
si une application linéaire f transforme une base orthonormée en une autre base orthonormée alors elle est bijective et f conserve le produit scalaire, c'est à dire que f est un automorphisme orthogonal ou un isomorphisme orthogonal(suivant si l'espace d'arrivée est le même que celui de départ)
c'est çà?
Merci !
Pour jeanseb, excuse moi mais je n'avais pas compris que c'était différent pour une base orthonormée. Je n'avais pas réalisé. Mais je ne me permettrais pas de dire que vous avez tort; c'est juste que je n'avais pas compris. Merci pour ces précisions.
Je commence à y voir un peu plus clair! C'est des notions qu'on utilise très souvent et pourtant j'ai vraiment du mal . Mais faut que je les apprenne et les retienne.
Merci à vous deux d'avoir pris de votre temps pour m'expliquer .
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