Voilà j'ai un problème en 2 parties,

J'ai réussi la 2e partie car elle pouvait se faire sans réussir la 1ère étant donné que les résultats étaient donnés dans la partie 1.

Je bloque sur la partie 1 et je ne vois pas du tout comment démarrer.

Voici le sujet:

Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On considère une fonction réelle de classe C sur [-1,1], et on note I(f) l'intégrale:_-1¹f(x)dx.
Enfin, a₁, a₂,..., a_n désignent n réels 2 à 2 distincts de [-1,1], et on note A_n le polynôme:
A_n=(X-a_i) (pour i variant de 1 à n)

L'objet de ce problème est l'approximation de I(f) par des intégrales de fonctions polynomiales.

Partie 1

Dans cette partie, on va proposer comme valeur approchée de I(f) la valeur de l'intégrale obtenue en remplaçant la fonction f par la fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n-1, introduite ci-dessous, qui coïncide avec f sur chacun des points a_i.

Pour tout entier i de {1,2,...,n} on note L_i le polynôme: L_i=(X-a_k) (pour k(1,2,...,n) ki)

Par exemple si n=3, a₁=-1, a₂=0, et a₃=1, alors: L₁=X(X-1), L₂=(X-1)(X+1), L₃=X(X+1)

1) a) Vérifier que, pour tous entiers i et j de {1,2,...,n}, le réel L_i(a_j) est nul lorsque i est différent de j, et est non nul lorsque i est égal à j.

b) Montrer qu'il existe un unique polynôme, que l'on note P_f, de degré inférieur ou égal à n-1, tel que, pour tout entier j de {1,2,...,n}, on a l'égalité P_f(a_j)=f(a_j), et que ce polynôme est donné par la formule:
P_f= (f(a_i)/L_i(a_i))xL_i (pour i variant de 1 à n)

Pour le a) j'ai L_i(a_j) = (a_j-a_k)
quand i=j:
on a ik dc jk
Donc pour tout k,j on a a_ja_k
Donc a_j-a_k0
Et L_i(a_j)0

Quand ij
On a j=k
Dc a_j-a_k=0
Soit L_i(a_j)=0

Je pense avoir a peu près bon mais pour le b je bloque complètement je ne vois pas comment partir.
Donc si vous pourriez me mettre sur une piste ce serait vraiment très gentil.

Merci d'avance.