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Union de sous espaces vectoriels
Bonsoir,
J'ai un exercice à faire mais même en relisant le cours je n'arrive pas à le commencer. Il porte sur l'union de 2 sous espaces vectoriels.
Enoncé: Soient E un K-espace vectoriel, F et G 2 sous-espaces vectoriels de E. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur F et G pour que F
G soit un sous-espace vectoriel de E.
Pourriez-vous me donner quelques pistes afin de commencer l'exercice?
Merci
Bonjour,
La première piste est de faire un dessin !
Par exemple dans le plan , regarde
et
où
est la base canonique de
.
Pourquoi ne peut pas être un espace vectoriel ? (fais le dessin)
Bonsoir,
si F
G est un espace vectoriel alors :
On a donc ou
d'où
ou
.
Je te laisse conclure que L'un des sev est inclus dans l'autre.
Merci verdurin de ta réponse.
J'aimerai quand même comprendre avec le dessin. En le faisant je n'arrive pas à représenter FG, comment faire?
Je ne pense pas que ce soit un EV, toutes les combinaisons linéaires de F=vect(e1) et G=vect(e2) est un EV non?
Merci Narhm
Bonjour verdurin
Voici une image pour t'illustrer mon exemple :
La réunion de F et G c'est la croix. Mais tu vois bien que est un vecteur du plan, donc s'écrivant sous la forme
, sans pour autant appartenir à
.
Ce n'est pas très "vectoriel" tout ça.
Merci pour ton dessin.
Donc si je comprends bien il faudrait que tous les vecteurs de la forme appartiennent à
pour que
soit un espace vectoriel?
Ton dessin illustre très bien le problème.
L'union de 2 sous espaces vectoriels n'est un sous espaces vectoriel que si l'un est inclus dans l'autre. Dans ce cas c'est trivial.
Donc si je comprends bien il faudrait que tous les vecteurs de la forme
Oui par définition d'un sous espace vectoriel :
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